Um desafio muuuuito simples.

A soma da distância de dois caminhos é sempre maior ou igual do que a distância de um caminho.

Um desvio no trajeto aumenta a distância percorrida, mas uma parada não.

Para ir de um ponto A até um ponto B num lugar plano, a menor trajetória a ser escolhida deve ser em linha reta. Por isso, ao partir de A, passar antes num ponto C (em linha reta) e depois ir até B(também em linha reta), a distância de A até B será sempre menor do que a distância de A até C somado à distância de C até B (estes 3 trajetos formam um triângulo). Resumindo: Os segmentos ligando A a C e C a B, formam um caminho ligando A a B, cujo comprimento é sempre maior do que o comprimento do segmento de reta ligando A até B diretamente.

A distância percorrida entre um ponto A até um ponto B é sempre menor ou igual a distância de A até C acrescida da distância de C até B independente do ponto C que escolhermos.

Imagine que você esteja andando por uma calçada e que para chegar ao seu trajeto final, precise somente dobrar uma esquina. A desigualdade triangular diz que para economizar caminho, ao invés de dobrá-la, basta cruzar pela grama!

Quando pensamos em distância, nossa mente associa esse conceito logo a noção de trajetória, caminho, percurso. E isso faz todo sentido, afinal na Matemática, em alguns tipos de ambientes, a distância entre dois pontos é realizada por alguma trajetória e é um trabalho legal encontra-la. Por exemplo, aprendemos desde cedo que a menor distância entre dois pontos é realizada por uma reta. Em particular, se vc picotar seu trajeto, mesmo que ande por linhas retas, vc andará mais do que se fosse numa única direção retilínea constante. Isso é o que os matemáticos chamam de desigualdade triangular. Só que esse tipo de caracterização pode ser bem limitada, pois se vc pensar por exemplo no nosso próprio planeta, não dá pra se deslocar em linha reta e isso fica evidente em grandes distâncias, como por exemplo, numa longa viagem de avião, afinal a Terra não é plana, apesar de existirem várias pessoas que acreditam e perpetuam essa crença. Na realidade, a superfície da Terra é aproximadamente esférica e não se pode colocar uma reta em uma esfera. Mas então, como aplicar o conceito de minimização de distância aqui? Esse conceito permanece, a diferença é que vc troca "retas" por "meridianos" e fica tudo direitinho, haha

Entre um atalho em linha reta ($C$) e um com desvio($A+B$), uma pessoa perdida sempre arriscará no que menor lhe propõe riscos, mesmo que os dois percursos tenham distâncias iguais. ($C \leq A+B$)

Imagine duas crianças apostando uma corrida até a parada de ônibus, onde ambas estão no mesmo local de partida e correm a mesma velocidade constante. Existem dois caminhos, um pela calçada onde basta percorrer alguns passos sentido norte e depois virar a leste (tudo de forma retilínea) e o outro caminho é atravessando o jardim que existem entre as calçadas de forma retilínea. Qual dos dois você acredita que ganhará a corrida?

É intuitivo saber que será a criança que escolherá ir pelo jardim, pois fazer um percurso apenas por um trajeto é menor que fazer o mesmo percurso por dois trajetos.

É mais rápido você seguir o caminho entre o ponto de partida A e o ponto de chegada B, do que você seguir pelo caminho A até C acrescido do caminho C até B.

Imagine que tenha três mesas espalhadas (não alinhadas) em uma lanchonete, vamos nomeá-las de A, B e C. O garçom dessa lanchonete está na mesa A e precisa ir até a mesa C anotar o pedido dos clientes, mas para isso ele precisa fazer trajetos retilíneos de uma mesa para outra. Qual o trajeto mais curto que o garçom fará até a mesa C?

I) Saindo da mesa A, passando pela mesa B e depois indo até a mesa C.
II) Saindo da mesa A e indo para a mesa C.

É fácil perceber que a resposta correta é o item I, ou seja, a distancia de A até C é menor que a distância de A até B mais a distância de B até C. E é isso que a desigualdade triangular nos diz, que em um triângulo, o comprimento de um dos lados é sempre menor do que soma dos comprimentos dos outros dois lados.

Podemos pensar na métrica como se fosse fosse um mecanismo que nos indica uma certa quantidade que mede um determinado percurso entre dois pontos e a distância sendo essa quantidade do menor percurso entre esses pontos. Dessa forma, podemos imaginar essa quantidade em termos de tempo. Por exemplo, a métrica irá nos dizer qual seria o tempo necessário para se percorrer qualquer caminho que liga esses dois pontos (sem parar e mantendo uma velocidade constante) e a distância nos indicará o tempo em relação ao caminho mais rápido. Agora pense em dois corpos saindo de um ponto A e, com a s mesmas velocidades, partem em direção a um ponto B. Um deles decide percorrer o caminho mais rápido e o outro resolve passar por um lugar (um ponto C) que não está no percurso do caminho mais rápido. De imediato, já podemos perceber que este segundo irá demorar mais para chegar até o destino, afinal ele decidiu percorrer uma rota que não é a mais rápida. Essa é a ideia da Desigualdade Triangular, o menor percurso sempre será mais rápido do que se você decidir fazer um desvio. Apesar desse exemplo parecer bastante intuitivo, perceba que não falei em linhas retas, triângulos ou planos e espaços tridimensionais. A Matemática vai além da nossa intuição tridimensional que temos sobre os espaços, afinal podemos pensar em espaços de dimensões maiores e o que nos ajuda a pensar sobre os estudos sobre esses espaços são as métrica, elas nos dirá como que iremos calcular as "quantidades" nestes espaços, ou ainda as distâncias. Mas então por que "Desigualdade Triangular"? Se pararmos para pensar, este nome também é bastante intuitivo, afinal utilizando a geometria usual, um triângulo num plano seria um exemplo mais simples para "enxergarmos" esta propriedade. Entretanto, não podemos nos limitar a casos restritos somente pela "visualização". E por fim, somente para pensarmos mais na importância de se determinar uma aneira de calcular distâncias em um espaço dado, imagine um barco navegando... Nem sempre o caminho mais rápido para chegar até um destino seria enfrentar de frente uma correnteza do oceano.

Você chega mais rápido ao seu destino final indo em linha reta do que fazendo "conexões" com outros caminhos.

A menor distancia pra fazer algo nem sempre a a mais rápida, ou que exige menos esforço. Vamos pensar então na distancia, relacionada ao tempo que levamos para chegar á algum lugar " em uma velocidade constante". Por exemplo, para você sair de onde você mora e ir até o lado oposto do planeta exatamente contrario de onde você saiu , o caminho mais curto seria cavando e atravessando o núcleo do planeta, o que ainda não é possível. Então você precisa tomar um caminho na superfície para chegar ao seu destino, quando você sabe qual é esse caminho mais rápido, fica claro que qualquer desvio fara ele ficar maior.

Imagine que você está andando tranquilamente pela rua e encontra dois conhecidos que não estão juntos. Você pode ir falar com o conhecido 1 e em seguida ir falar com o conhecido 2 ou o contrário. Ainda assim, a distância entre você e um desses conhecidos e menor do que a distância que você iria percorrer indo falar com um e depois com outro. Falaria em seguida que isso se dá porque, no plano euclidiano, o comprimento de um dos lados de um triângulo não excede a soma dos outros dois lados.

Basicamente, a desigualdade triangular nos diz que, ao computarmos a distância entre dois pontos $a, b\in X$ quaisquer, onde $(X,d)$ é um espaço métrico, essa distância $d(a,b)$ é no máximo igual a soma das distâncias entre cada um desses pontos e qualquer outro ponto $c\in X$ escolhido, i. e. $$d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b),$$ de modo que a consideração desse terceiro ponto $c$ como intermediário entre $a$ e $b$ nos dá um controle sobre $d(a,b)$. Isso é útil para fazer estimativas. Se escolhemos um ponto $c$ conveniente de forma que saibamos quem são d(a,c) e d(c,b).

Se você vai para faculdade e chegou num ponto entre duas ruas tem uma rua C que vai direto para seu destino e a outra é a rua A que passa por outra rua B até chegar ao seu destino que é a faculdade, logo é mais vantajoso seguir pelo caminho C pois ele é sempre menor que o percurso feito pelo caminho A e B.

Por exemplo quando você está viajando para outra cidade e olha a mapa, suponha que existem dois caminhos distintos. Um que vai diretamente (e sem muitos desvios) para o seu destino e outro que passa inicialmente de uma cidade X (com desvio) e depois chega na cidade de destino. É claro que aquele caminho direto é menor ou igual que o outro em tamanho. Ou pense numa aeronave espacial que é projetada para viajar e orbitar em torno de uma planeta A. Imagine uma situação onde na trajetória do areronave aparece um asteróide perigoso que tem potêncial de o derrubar. Nesta condição, é preciso de alguma forma (gastando um pouco mais de combustível ou energa para a propulsão ou etc) mudar a trajetória dele , ir para outro ponto e depois voltar. Assim, a nova trajetória do aeronave seria maior que no caso sem a existência do asteróide. Estes são alguns exemplos que têm (quase) a idéia da desigualdade triangular. De maneira mais sofisticada, a desigualdade triangular significa que para qualquer três pontos (vetores, algumas certas matrizes, e etc) de um espaço metrizável, a distância direta entre dois pontos é menor ou igual que a soma das distâncias de cada um dos dois pontos com o terceiro. Mas este fato vale nos espaço métricos e não deformados.

Quando escolhemos um espaço e atribuímos uma maneira de medir distâncias nele, damos a ele uma certa geometria. Segue naturalmente desta construção que existirão objetos que chamariamos de 'retas' ou 'caminhos', que serão os objetos deste espaço sobre os quais poderemos colocar nossas 'réguas' e medir distâncias. A desigualdade triangular enfatiza que percorrer outros caminhos que não estas 'retas' faz com que percorramos uma distância maior (ou igual) à que percorreríamos sobre a dada 'reta'.

João, gosta de imaginar situações hipotéticas. João, se imagina salvando uma princesa de uma torre onde esta se encontra enclausurada por alguma razão...então João imagina qual a forma mais rápida para sair da Torre e chegar do outro lado do feudo com a jovem... a primeira maneira é descendo uma escadaria da Torre e depois caminhando com a princesa até chegar ao outro lado o feudo, ... a outra maneira (mais Hollywoodiana) é improvisar de alguma forma (quase mística) uma tiroleza até o outro lado do feudo para que ambos escapem da Torre por meio de uma descida "tranquila".