Um subgrupo de um grupo topológico

Um grupo topológico é um grupo $G$ que é um espaço topológico e satisfaz o axioma $T_1$: Conjuntos finitos de pontos são fechados. Além disso as operações
\begin{align*}
\psi : & G \times G \to G\
& (x,y) \mapsto x \cdot y
\end{align*}
e
\begin{align*}
I : & G \to G\
& x \mapsto x^{-1}
\end{align*}
são funções contínuas.

Seja $H$ um subgrupo e um subespaço de um grupo topológico $G$ ($H$ tem a topologia induzida). Então $H$ é um grupo topológico.

Observe que $H \subseteq G$, então $H$ satisfaz $T_1$. Como $H \leq G$, temos que a restrição
$$
\psi_0 = \psi |_ {H \times H}
$$
está bem definida e, além disso, $\psi_0 = \psi \circ j$, onde $j: H \times H \to G \times G$ é a inclusão. Então $\psi_0$ é contínua. Podemos considerar agora a função $\psi_1$ obtida de $\psi_0$ restringindo o contradomínio para $H$, ela está bem definida porque $Im(\psi_0) \subseteq H$. Sendo agora $V$ um aberto em $H$, temos que em geral $\psi^{-1}(H)$ não precisa necessariamente estar contido em $H \times H$. Considere o grupo das matrizes com determinante $1$, podemos achar duas matrizes que não estão neste grupo (com determinantes $3$ e $1/3$ por exemplo) tais que o produto delas está no grupo. Então, pela definição de $\psi_1$,
$$\psi_{1}^{-1}(V) = \psi_{0}^{-1} \cap (H \times H)$$
é aberto em $H \times H$. Logo, $\psi_1$ é contínua.

No caso da inversão, a função obtida restringindo o domínio de $I$ para $H$ é contínua pelo que vimos antes e sua imagem está contida em $H$, pois $H \leq G$. Portanto, faz sentido considerar a restrição $I_0: H \to H$ obtida de $I$. Sendo $V$ aberto em $H$, $V = U \cap H$ com $U$ aberto em $G$. Então
$$I_{0}^{-1}(V) = I_{0}^{-1}(U \cap H) = I^{-1}(U \cap H) = I^{-1}(U) \cap I^{-1}(H) = I^{-1}(U) \cap H,$$
onde a segunda igualdade deve-se ao fato de que
$$U\cap H \subseteq H \implies I^{-1}(U\cap H) \subseteq H.$$
Segue que $I_{0}^{-1}(V)$ é aberto em $H$ e $I_0$ é contínua.