Mostre que, dado $(X,d)$ um espaço métrico, se $X$ é sequencialmente compacto então $X$ é limitado.
https://www.youtube.com/watch?v=0_1iuwa26XI
- DDaniel Abreu @daniel1.abreu
Suponha, por contradição, que $X$ não é limitado,isto é, para todo número natural $N$ e $x\in X$ fixado sempre existe $y\in X $ tal que $d(x,y)>N$. Em outra palavras para todo $N\in\mathbb{N}$ a sequêcia $(y_{N})$ é tal que
$$d(x,y_N)>N$$.
Afirmação: A sequência $(y_{N})$ não possue subsequência convergente.
De fato. Caso contrário, seja $a$ o limite de uma subsequência de $(y_{N})$ , isto é, para todo $\epsilon >0$ existiria $N_k$ natural tal que
$$ d(y_{N_{k}},a)<\epsilon$$
Dai ,para todo $N\in \mathbb{N}$ teriamos que
$$N<d(x,y_{N_{k}})\leq d(x,a)+d(a,y_{N_{k}})<d(x,a)+\epsilon$$
o que implicaria em dizer que o conjunto dos números naturais é limitado.Absurdo.
Logo, pela afirmação acima, $X$ não é sequencialmente compacto. Contradição.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Quando eu digo que um conjunto é ilimitado... pra quem não já conhece o conceito, fica meio ambíguo...
Ilimitado 1:
Para todo $N \in \mathbb{N}$ e para todo $x \in X$, existe $y \in X$ tal que $$d(x,y) > N.$$
Ilimitado 2:
Para todo $N \in \mathbb{N}$, existem $x, y \in X$ tais que $$d(x,y) > N.$$
São a mesma coisa? Eu poderia ter sido mais claro no vídeo, né?
- DDaniel Abreu @daniel1.abreu
Pra mim parecem a mesma coisa . Mas na demonstração acima eu fixei um $x$ em $X$ e comparei com os demais elementos de $X$ , como o senhor falou no video. Na verdade, essa é uma das minhas dificuldades nesse curso. Por exemplo , em analise recordo que um conjunto é limitado quando ele esta contido em uma bola de raio $r$ centrado na origem. Essa sutileza em trocar as definições e adequar a nova notações faz com que estudar topologia fosse quase como estudar algo totalmente novo, como uma nova linguagem.
Ai fui buscar a definição de " conjunto limitado" nas notas de aula mas só me deparei com o conceito de "limitação total".- AAndré Caldas @andrecaldas
Qualquer desses conceitos é a mesma coisa. Mas quando a gente vai usar... às vezes a gente faz diferente do que tá dizendo que tá fazendo.
[...] em analise recordo que um conjunto é limitado quando ele esta contido em uma bola de raio $r$ centrado na origem.
Bom... pra começo de conversa, em um espaço métrico, não existe a "origem".
Vamos supor então que sua definição é assim:
[...] um conjunto é limitado quando ele esta contido em uma bola de raio $r$ centrado em algum ponto.
Tá joia! É uma boa definição.
Talvez outra pessoa tenha como definição isso:
Um espaço métrico é ilimitado quando $\sup d = \infty$.
No fundo, é tudo a mesma coisa. Mas no começo, quando você ainda não sabe que é tudo a mesma coisa, então é, a princípio, tudo diferente.
O problema não é a topologia geral. O problema é que seu professor é muito chato.
[...] nas notas de aula mas só me deparei com o conceito de "limitação total".
Pois é! Nas notas de aula, eu falo em conjunto limitado o tempo inteiro. Mas não defini em lugar nenhum o que é isso!!!
O que você acha de eu estar falando em limitado isso, limitado aquilo, sem nunca ter dito precisamente o que é que limitado ou ilimitado significam?
Essa sutileza em trocar as definições e adequar a nova notações faz com que estudar topologia fosse quase como estudar algo totalmente novo, como uma nova linguagem.
Primeiramente, pra quem fez um curso de análise, estudar topologia é estudar algo totalmente novo, com uma nova linguagem.
Não leve meus comentários pro lado pessoal. Não significa que eu estou lhe criticando. Nesse caso específico, por exemplo, eu diria que eu estou me criticando. Quem inventou o enunciado da questão fui eu! Quem não definiu o que é e o que não é limitado, fui eu.
Espero que você, como estudante, perceba que está falando de algo cujo significado não está claro. Acho muito bom quando, neste caso, deixamos bem claro o que é que estamos fazendo. Se você entende por limitado um conjunto que está contido na bola centrada na origem, então você acha uma coisa e escreveu outra. Em espaços métricos, não existe uma origem.
Com meus comentários, espero instigar algum tipo de reflexão. Se não gostar dos comentários, posso simplesmente não fazê-los. Não aja como se eu estivesse "atacando" e você tivesse que se "defender". É muito comum, no processo de aprendizado, que o estudante fique angustiado, porque tem um monte de coisas novas e ele não entende tudo. Quando isso acontece eu costumo dizer:
Calma lá... não adianta colocar a culpa em mim, não. :-)
Com uma postura menos defensiva, você poderia ter chegado à conclusão de que existem várias nuâncias no conceito de "limitado". Conhecer essas nuâncias pode levar você a compreender melhor as coisas. Talvez seja algo que você nunca tenha parado pra pensar! Conhecer as nuâncias, pode levar você a pensar sobre "limitação" mesmo onde não existe uma métrica.
https://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_set
https://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_set_(topological_vector_space)- DDaniel Abreu @daniel1.abreu
Vala que textão rsrs Sem problema professor, não levo para o pessoal e até prefiro e gosto que o senhor continue comentando. E se tiver criticas, eu também gostaria de ouvir. Eu até agradeço porque Tenho certeza que será construtivo e vai me ajudar bastante.
Me perdoe se deixei a entender que assumi essa postura passivo/agressivo. Eu realmente só estava tentando externando uma dificuldade pessoal e acho que não escolhi as melhores palavras pra isso.
- Em resposta adaniel1.abreu⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Seria bom dizer que $a$ é o limite da tal subsequência. Por exemplo,
Se $x_{N_k}$ converge para o ponto $a$, então [...]
- DDaniel Abreu @daniel1.abreu
certo...