Limite uniforme de funções contínuas

Sabemos que uma sequência de funções $f_n:X\rightarrow \mathbb{R}$ converge uniformemente para uma função $f:X\rightarrow\mathbb{R}$ quando para cada $\varepsilon>0$, existir um índice $n_0\in\mathbb{N}$ tal que,
\begin{equation}
n>n_0\Rightarrow f_n(x)\in B_{\varepsilon}(f(x)),\forall x\in X
\end{equation}
Suponhamos que para cada $n\in\mathbb{N}$, $f_n$ seja contínua. Mostremos que $f$ também é contínua. Para isso, seja $a\in X$ e mostremos que $f$ é contínua nesse ponto. Com efeito, dado $\varepsilon>0$, existe, pela convergência uniforme das $f_n$, $n_0\in\mathbb{N}$ tal que,
\begin{equation*}
n>n_0\Rightarrow f_n(x)\in B_{\frac{\varepsilon}{3}}(f(a)) \ (1)
\end{equation*}
Fixe um dado $n>n_0$ obtido acima. Como $f_n$ ($n>n_0$) é contínua no ponto $a\in X$ existe uma vizinhança $V\in\mathcal{V}(a)$ tal que,
\begin{equation*}
f_n(V)\subset B_{(\frac{\varepsilon}{3})}(f_n(a)) \ (2)
\end{equation*}
Daí, note que para $x\in V$ vale
\begin{align*}
|f(x)-f(a)|&=|f(x)-f_n(x)+f_n(x)-f_n(a)+f_n(a)-f(a)|\\
&\leq|f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(a)|+|f_n(a)-f(a)|
\end{align*}
Logo, usando (1) e (2) vê-se que $f(x)\in B_\varepsilon(f(a))$ para todo $x\in V$. Portanto $f$ é contínua em $a$ e o resultado segue.

Suponha $f$ descontinua no ponto $a$, isto é, existe $\epsilon>0$ com a seguinte propriedade:
Para todo $U \in \mathcal{V}(a)$ podemos obter $x\in U$ tal que $|f(x)-f(a)|\geq\epsilon$.

Dai, para todo $n\in \mathbb{N}$, temos a seguinte desigualdade

$$\epsilon \leq |f(x)-f(a)|\leq |f_n(x)-f(x)|+ |f_n(x)-f_n(a)|+|f_n(a)-f(a)|$$

Se $f_n \rightarrow f$ uniformemente então $f_n \rightarrow f$ pontualmente .Logo para $n$ suficientimente grande temos que $f_n(x) \rightarrow f(x)$ e $f_n(a) \rightarrow f(a)$.

Com isso, para $n$ suficientimente grande, temos que a desigualdade acima se resuma a $|f_n(x)-f_n(a)| \geq \epsilon$ .

Logo existe $\epsilon>0$ com a seguinte propriedade: Para todo $U \in \mathcal{V}(a)$ podemos obter $|f_n(x)-f_n(a)| \geq \epsilon $, para todo $n$ suficientemente grande. Em outras palavras, nem todas $f_n$'s são contínuas. Contradição.