Teorema de Tychonoff com ultrafiltros: sugestões

Referências

Sobre convergência de filtros, eu tenho um vídeo que pode "dar uma luz"... uma motivação. É o primeiro vídeo dessa lista:
https://www.youtube.com/playlist?list=PLMG2ETzS-iy_DGR8bGJtx8Cpi-ijUOhmo

Eu aprendi sobre filtros e redes no "Analysys Now", do Pedersen. Eu já tô achando que esse foi o único livro que eu li!!! :-)

Acho que o primeiro passo é saber o que é um filtro e o que é um ultrafiltro. E o segundo passo é procurar saber o que é convergência de filtros.

Conteúdo do trabalho

Acho que você pode fazer um capítulo só sobre filtros e ultrafiltros. Tem que provar algumas propriedades úteis dos filtros e dos ultrafiltros.

Depois, você pode falar de topologia geral com filtros. Pode ser um capítulo separado. Principalmente, falar sobre o que é convergência de filtros. Talvez, também, falar de continuidade com filtros. Sobre como uma função $f: X \rightarrow Y$ pode transportar filtros de $X$ para $Y$ e de $Y$ para $X$.

E então, você pode falar em compacidade. Pode ser um capítulo separado. Tem que mostrar as equivalências entre as diferentes definições.

A demonstração do teorema de Tychonoff deve ser ipsis litteris de um resultado um pouco mais geral. O teorema de sub-base de Alexander.
https://en.wikipedia.org/wiki/Subbase#Alexander_subbase_theorem
O teorema de Tychonoff é basicamente um corolário do teorema de sub-base de Alexander.