Compacto + Hausdorff $\Rightarrow$ $T_4$: sugestões

Regularidade

Regularidade normalmente é definida em termos de vizinhanças disjuntas que separam fechados e pontos. Mas também pode ser expressa dizendo que a família $\mathscr{F}(x)$ de vizinhanças fechadas de $x$ é uma base de vizinhanças para qualquer $x$.

Por outro lado, por ser um espaço de Hausdorff, sabemos que vale
$$\bigcap \mathscr{F}(x) = \{x\}.$$

Use este fato, junto com a compacidade para concluir que $\mathscr{F}(x)$ é uma base de vizinhanças de $x$.

Este argumento pode também ser utilizado no caso em que $X$ é apenas localmente compacto.

Compactificação por um ponto $X^*$

Uma outra maneira de resolver problemas que envolvem espaços de Hausdorff localmente compactos, é utilizando a compactifiação por um ponto. Se você já conhece o resultado para os compactos, pode utilizar a compactificação por um ponto e concluir que a mesma coisa, ou algo semelhante, valem para os espaços localmente compactos.

Acho que seria bacana se você mencionasse isso em seu trabalho.