Dúvidas e Sugestões - Apostila

Para inaugurar este tópico eu gostaria de fazer um comentário na definição de métrica

Na Definição 1.1 da apostila, já está posto que uma métrica tem que ser uma função com contradomínio em $\mathbb{R}^+$ e devido a isso não se faz necessário listar a propriedade que $d(x,y) \ge 0$ para todo $x,y \in X$. No entanto, é bastante interessante observar que não é necessário nem listar essa propriedade nem se preocupar em dizer que o contradomínio da métrica é a parte positiva da reta real, pois as propriedades 1), 2) e 3) já implicam naturalmente a condição $d(x,y)\ge 0$ para todo $x,y\in X$. Com efeito, pelas propriedades 1) e 3):

$$0=d(x,x) \le d(x,y)+d(y,x)$$

Porém, a propriedade 2) afirma que $d(x,y)=d(y,x)$, logo:

$$
0=d(x,x)\le 2d(x,y) \implies d(x,y)\ge 0 , \forall x,y\in X
$$

Sobre a apostila, tem uma notação que não me é familiar na proposição 1.7.

$$
\cap_{\epsilon > 0}B_{\epsilon}(x)
$$

Sobre os primeiros exercícios da apostila, mais especificamente o 1.1.3, eu fiquei em dúvida quanto ao símbolo em anexo, assumi, com a ajuda de uma amiga, que seja contém mas não é igual, isso confere?

Na definição 3.7 da apostila (base de vizinhanças) está escrito:
$$\mathcal{V}(x)=\{V \subset X \ | \ \exists \ B \in \mathcal{B}, \mbox{ com } \ B \subset Y\}.$$
Na minha cabeça esse Y não faz muito sentido ... seria X ou V?

No exemplo 4.4 da apostila, temos que
$$\tau=\left\{(\alpha,\infty) \ | \ \alpha\in \mathbb{R}\right\}$$
é uma topologia sobre $\mathbb{R}$, chamada Topologia da Continuidade Inferior.

Agora,
$$\tau=\left\{A_{q}=(q,\infty) \ ; \ q\in\mathbb{Q}\right\}$$
não é uma topologia sobre $\mathbb{R}$.

De fato, repare que
$$A=\left\{A_{q}; \ \ q>\sqrt{2}\right\}$$
é um aberto em $\tau$. No entanto,
$$B=\bigcup{A}=\left(\sqrt{2},\infty\right)$$
não pertence a $\tau$, pois $\sqrt{2}$ não é um número racional.
Como a união arbitrária de abertos de $\tau$ não pertencem a $\tau$ segue que $\tau$ não é uma topologia em $\mathbb{R}$.