Prova 1 – Verão/2020- Questão 1
Seja $X$ um conjunto munido de uma topologia dada por uma família de abertos $\tau$. Com os elementos de $\tau$ , para cada $x \in X$, podemos construir a família:
\begin{equation*}
\alpha(x) = \{V \subset X \mid \exists A \in \tau, x \in A \subset V\}.
\end{equation*}
E agora, com as famílias $\alpha(x)$ podemos construir a família
\begin{equation*}
\beta = \{A \subset X; x \in A \Rightarrow A \in \alpha(x) \}.
\end{equation*}
Mostre que
\begin{equation*}
\beta=\tau.
\end{equation*}
Comentário:
Nessa questão tentei provar que $\beta$ é uma topologia, ou seja que satisfaz as três condições de um espaço topológico. Não sei se provei do jeito certo.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Fiz umas modificações. Dê uma olhada nas modificações clicando no botão (lápis) perto do
+..., lá em cima, no começo do post.Aqui no fórum, o parágrafo inteiro tem que ficar num "linhão", mesmo. Se não, o fórum quebra as linhas. No trabalho final é que não é bom fazer um "linhão".
- VVITORIA CHAVES FERNANDES @VitoriaC
Certo, obrigada pelas modificações!
Em resposta aVitoriaC⬆:Caio Tomás de Paula @CaioTomasPensei o seguinte: por definição, $\alpha(x)$ é a família de vizinhanças de $x$ em $X$ (na topologia $\tau$). Daí, $\beta$ é a família dos conjuntos de $X$ que são vizinhanças de todos os seus pontos (de novo, na topologia $\tau$), ou seja, é a família de abertos de $X$, que é $\tau$.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Sim. O exercício consiste em demonstrar que os abertos são exatamente os conjuntos que são vizinhanças de todos os seus pontos.
Existem várias maneiras diferentes de fazer topologia. Uma delas é com abertos. Tem uma família $\tau$. Então, a definição de aberto não é "um conjunto que é vizinhança de todos os seus pontos". Um aberto é definido simplesmente como um elemento $A \in \tau$.
É preciso mostrar:
- Um aberto é vizinhança de todos os seus pontos: $\tau \subset \beta$. (fácil)
- Um conjunto que é vizinhança de todos os seus pontos é um aberto: $\beta \subset \tau$.
Uma outra forma de definir uma topologia, é especificando quem são as vizinhanças de cada ponto. Nesse caso, os abertos são definidos (como normalmente fazemos para espaços métricos) como os conjuntos que são vizinhanças de todos os seus pontos.
O ciclo sempre se fecha. Você pode começar com as vizinhanças e produzir os abertos. E você pode começar com os abertos e produzir as vizinhanças. Então, você pode:
- Começar com as vizinhanças $\mathcal{V}(x)$.
- Produzir os abertos: conjuntos que são vizinhanças de todos os seus pontos.
- Como agora você tem os abertos, você pode definir uma nova família $\mathcal{W}(x)$... que são os conjuntos que contém um aberto que contém $x$.
Nesse caso, a pergunta é:
$\mathcal{V}(x) = \mathcal{W}(x)$?
No exercício do post você:
- Começa com os abertos: $\tau$.
- Constrói as vizinhanças de $x$ como sendo os conjuntos que contém um aberto que contém $x$.
- Constrói $\beta$: os conjuntos que são vizinhanças de todos os seus pontos.
A pergunta é:
$\tau = \beta$?
O ciclo sempre se fecha?
Caio Tomás de Paula @CaioTomasEntendi. Então podemos assumir as propriedades de uma topologia, por exemplo que é fechada por união arbitrária? Porque se esse for o caso, pra argumentar que $\beta \subseteq \tau$ acho que poderíamos fazer assim:
dado $B \in \beta$, temos que para todo $x\in B$ existe $A_x\in\tau$ tal que $x\in A_x \subseteq B$. Portanto,
$$
B \subseteq \bigcup_{x\in B} A_x \subseteq B,
$$ ou seja,
$$
\bigcup_{x\in B} A_x = B.
$$ Logo, como $\tau$ é topologia, segue que $B$ é aberto, i.e., $B\in\tau$ e $\beta \subseteq \tau$.(A "ida" $\tau\subseteq\beta$ é fácil porque $A\subseteq A$)
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Acredito que antes você tenha que mostrar que a família $\beta$ é uma topologia sobre $X$. Para depois usar as propriedade da topologia.
- Caio Tomás de Paula @CaioTomas
Mas eu só usei que $\tau$ é uma topologia pra concluir que a união dos $A_x$ é um aberto. Não entendi porque precisaria mostrar antes que $\beta$ é uma topologia.
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Mas o que você mostrou não foi que se $B\in\beta$ então $B\in\tau$ ? Mas isso já implica direto que a família $\beta $ é uma topologia ?
- Caio Tomás de Paula @CaioTomas
E além disso, a rigor o meu objetivo não era mostrar que $\beta$ era uma topologia, mas só que $\beta = \tau$ (o que implica em $\beta$ ser uma topologia, como a @VitoriaC falou)
- Em resposta aJoaovitor⬆:VVITORIA CHAVES FERNANDES @VitoriaC
Mas se $\beta$ for igual a topologia $\tau$; então $\beta$ já é uma topologia sobre $X$, não é?
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Verdade! não tinha pensado dessa forma
- Em resposta aCaioTomas⬆:VVITORIA CHAVES FERNANDES @VitoriaC
Achei muito elegante o jeito que você demonstrou que $\beta \subset \tau$ . Acredito que o argumento principal. esteja em assumir que $B$ está contido na união de abertos e que essa união está contida em $B$.
Eu utilizei um argumento totalmente errado para tentar provar a questão. Muito obrigada pelas dicas postadas aqui!
- AAndré Caldas @andrecaldas
Eu gostei muito da discussão de vocês. :-)