Prova 2 - 2020 - Questão 2

Exercício: Seja $X$ um espaço de Hausdorff e $K \subset X$ um compacto. Mostre que $K$ é fechado.

Resolução: Basta mostrar que $X \setminus K$ é aberto. Seja $x \in X \setminus K$ arbitrário. Para cada $y \in K$, devido a $X$ ser Hausdorff, existem vizinhanças (abertas) $U_y, V_y$ de $x$ e de $y$ respectivamente, tais que $U_y \cap V_y = \emptyset$.
Note que $\mathcal{V}=\{V_y:y\in K\}$ forma uma cobertura aberta de $K$. Da compacidade, existem $y_1,...y_n \in K$ tais que:
$$
K \subset \bigcup_{i=1}^{n}V_{y_i} := V
$$
Além disso, $V$ é um aberto de $X$. Defina:
$$
U=\bigcap_{i=1}^{n} U_{y_i}
$$
Temos que $U$ é aberto, por ser interseção finita de abertos e $x \in U$, afinal $x \in U_{y_i}$, para cada $i$. No entanto, como $U_{y_i} \cap V_{y_i} = \emptyset$, então $U \cap V = \emptyset$, assim $U \subset X \setminus V \subset X \setminus K$.
Dada a arbitrariedade de $x$ escolhido em $X\setminus K$, segue que $X\setminus K$ é aberto e portanto, $K$ é fechado.