Formalização do Teorema da Subbase de Alexander

Vamos demonstrar o Teorema da subbase de Alexander (visto na aula de ontem no vídeo Compacidade na Topologia Produto):

Seja $X$ um espaço topológico e $\mathscr{C}$ uma subbase para a topologia em $X$. Se toda cobertura aberta $\mathscr{A} \subseteq \mathcal{C}$ de $X$ tem uma subcobertura finita, então $X$ é compacto.

Enunciamos desta forma porque a recíproca é claramente válida. Para esta demonstração, usaremos o lema de Zorn, que diz

Se $P$ é um conjunto parcialmente ordenado tal que todo subconjunto totalmente ordenado de $P$ tem uma cota superior, então $P$ contém um elemento maximal.

Vamos supor que $X$ não é compacto e obter uma contradição. Começamos considerando a coleção $\mathcal{F}$ de todas as coberturas abertas de $X$ que não têm uma subcobertura finita. Como $X$ não é compacto, $\mathscr{F} \neq \emptyset$. $\mathscr{F}$ é parcialmente ordenado pela inclusão e é possível mostrar (usando o Lema de Zorn) que ele contém um elemento maximal $\mathcal{M}$.

Definimos $\mathcal{S}' = \mathcal{M} \cap \mathscr{C}$, o conjunto dos abertos de $\mathcal{M}$ que estão na subbase. Queremos mostrar que $\mathcal{S}'$ cobre $X$, pois, desta forma, $\mathcal{M}$ deve conter uma subcobertura finita de $X$, já que $\mathcal{S}' \subseteq \mathcal{C}$ e $\mathcal{S}' \subseteq \mathcal{M}$. Daí concluiremos que $\mathcal{M} \not \in \mathscr{F}$ e que $X$ deve ser compacto. (Não consegui justificar porque $\mathcal{S}' \neq \emptyset$, se alguém souber...).

Se $\mathcal{S}'$ não cobre $X$, então existe $x \in X - \cup \mathcal{S}'$. $\mathcal{M}$ cobre $X$, então existe $U \in \mathcal{M}$ tal que $x \in U$. Como $\mathscr{C}$ é subbase, existe $\{C_1, \dots, C_n\} \subseteq \mathscr{C}$ tal que $C = \cap C_i$, um elemento da base da topologia, é tal que $x \in C \subseteq U$. Temos ainda que $C_i \not \in M$ para todo $i= 1, \dots, n$, pois $x \in X - \cup \mathcal{S}'$ e $x \in C$.

Como $\mathcal{M}$ é maximal, cada coleção $\mathcal{M} \cup \{C_i\}$ contém uma subcobertura finita de $X$. Denote, para cada $i$, esta subcobertura por $\mathcal{M}_i \cup \{C_i\}$, onde $\mathcal{M}_i \subseteq \mathcal{M}$. É fácil ver, então, que

$$\bigcup_i \mathcal{M}_i \cup \{C\}$$

é uma cobertura finita de $X$, o que implica que $\bigcup_i \mathcal{M}_i \cup \{U\}$ também é, pois $C \subseteq U$. Mas $U \in M$, o que é uma contradição, logo, $\mathcal{S}'$ cobre $X$. Portanto, $X$ deve ser compacto.