Prova 2 - 2020 - Questão 5

$\textbf{Exercício:}$ Considere a função contínua e injetiva

\begin{align*}
f: \{ 0,2 \}^{\mathbb{N}^*} &\rightarrow [0,1]\\
x &\mapsto \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{3^n}.
\end{align*}
A imagem de $f$ é o conjunto de cantor $C \subset [0,1]$, munido da topologia induzida da topologia usual de $[0,1]$. Mostre que existe um homeomorfismo
entre $C$ e $C \times C$.

$\textbf{Demonstração:}$

Defina
\begin{align*}
g: C \times C &\rightarrow C\\
\left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{3^n}, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{y_n}{3^n} \right) &\mapsto \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x_{2n}}{3^{2n}} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{y_{2n-1}}{3^{2n-1}}.
\end{align*}
Esse é o nosso candidato a homeomorfismo. Antes, façamos algumas observações:

Primeiro, observe que $C$ é um espaço Hausdorff por ser subespaço de $[0,1]$, que é Hausdorff na topologia induzida pela topologia de $\mathbb{R}$.

Segundo, observe que $\{ 0,2 \}^{\mathbb{N}} = \prod_{n=1}^{\infty} \{ 0,2 \}$ (esses dois espaços são "iguais" por identificação) é compacto pelo teorema de Tychonoff por ser produto de espaços discretos ${ 0,2 }$, os quais são compactos. Por isso e pela continuidade da $f$, $C = f(\{ 0,2 \}^{\mathbb{N}^*})$ é compacto. Por isso e pelo teorema de Tychonoff, $C \times C$ é compacto.

Terceiro, $g$ é contínua. De fato, dado $\varepsilon > 0$, defina $\delta := \frac{\varepsilon}{2} > 0$, então

$$\left| \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\overline{x}_n}{3^n} - \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{3^n} \right| + \left| \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\overline{y}_n}{3^n} - \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{y_n}{3^n} \right| < \delta$$

implica

\begin{align*}
\left| \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\overline{x}_{2n}}{3^{2n}} - \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x_{2n}}{3^{2n}} \right| + \left| \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\overline{y}_{2n-1}}{3^{2n-1}} - \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{y_{2n-1}}{3^{2n-1}} \right| &\leq \left| \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\overline{x}_n}{3^n} - \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{3^n} \right| + \left| \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\overline{y}_n}{3^n} - \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{y_n}{3^n} \right|\\
&< \delta + \delta = \varepsilon,
\end{align*}

o que prova a continuidade da $g$.

Quarto, $g$ é injetiva. De fato,

\begin{align*}
g \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\overline{x}_n}{3^n}, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\overline{y}_n}{3^n} \right) = g \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{3^n}, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{y_n}{3^n} \right) &\Longrightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\overline{x}_{2n}}{3^{2n}} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\overline{y}_{2n-1}}{3^{2n-1}} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x_{2n}}{3^{2n}} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{y_{2n-1}}{3^{2n-1}}\\
&\Longrightarrow \frac{\overline{x}_{2n}}{3^{2n}} = \frac{x_{2n}}{3^{2n}} \ \text{e} \ \frac{\overline{y}_{2n-1}}{3^{2n-1}} = \frac{y_{2n-1}}{3^{2n-1}}, \forall \mathbb{N}\\
&\Longrightarrow \overline{x}_{2n} = x_{2n} \ \text{e} \ \overline{y}_{2n-1} = y_{2n-1}, \forall \mathbb{N}.
\end{align*}

Assim, os termos pares de $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\overline{x}_n}{3^n}$ e de $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{3^n}$ e os termos ímpares de $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\overline{y}_n}{3^n}$ e de $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{y_n}{3^n}$ coincidem. Agora, note que podemos reordenar os termos dessas séries de modo que os termos ímpares sejam os termos pares e os termos pares sejam os termos ímpares da série de modo que ainda vale que

$$g \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\overline{x}_n}{3^n}, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\overline{y}_n}{3^n} \right) = g \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{3^n}, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{y_n}{3^n} \right),$$

portanto o argumento acima pode ser aplicado novamente a fim de concluir que os termos ímpares de $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\overline{x}_n}{3^n}$ e de $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{3^n}$ e os termos pares de $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\overline{y}_n}{3^n}$ e de $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{y_n}{3^n}$ coincidem, o que prova a injetividade de $g$.

Quinto, $g$ é sobrejetiva. De fato, dado $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{z_n}{3^n} \in C$, defina

\begin{align*}
x_n := \begin{cases}
z_n &, \ \text{se} \ n \ \text{é par.}\\
0 &, \text{se} \ n \ \text{é ímpar.}
\end{cases}
\end{align*}
e
\begin{align*}
y_n := \begin{cases}
0 &, \ \text{se} \ n \ \text{é par.}\\
z_n &, \text{se} \ n \ \text{é ímpar,}
\end{cases}
\end{align*}
então

$$g \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{3^n}, \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{y_n}{3^n} \right) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{z_n}{3^n}.$$

Agora, enunciamos o seguinte resultado:

$\textbf{Teorema:}$ Sejam $X$ e $Y$ espaços topológicos. Se $X$ é compacto, $Y$ é Hausdorff e $g: X \rightarrow Y$ é uma aplicação bijetiva e contínua, então $g$ é homeomorfismo.

Desse teorema e das observações acima, segue que $g$ é homeomorfismo.