Axiomas de separação

Este aqui é apenas um comentário sobre algo em que venho pensando.

No livro do Munkres, espaços regulares e normais são definidos como sendo obrigatoriamente $T_1$. Porém, isso implica que todo espaço normal é regular e todo espaço regular é Hausdorff. Ou seja, todo espaço $T_4$ é $T_3$ e todo espaço $T_3$ é $T_2$, de acordo com a definição que vimos em aula. (Lembrando que $T_3 = \text{ Regular } + \text{ Hausdorff }$ e $T_4 = \text{ Normal } + \text{ Hausdorff }$.

Eu fiquei me perguntando se estas definições seriam equivalentes ou não. Ocorre que um subespaço compacto de um espaço Hausdorff é sempre fechado e, em particular conjuntos de um ponto são compactos. Ou seja, se $X$ é Hausdorff, então $X$ é automaticamente $T_1$. Portanto, estas definições são equivalentes. Em detalhes: na definição do Munkres, $T_3 =$ Regular e $T_4=$ Normal.

Há ainda algo que é intrigante. Um conjunto de dois pontos com a topologia trivial é regular e normal (definindo como em aula) mas não pode ser $T_1$ por conta de sua topologia, conjuntos de um ponto não são abertos nem fechados. Então, de acordo com a definição do Munkres, não poderiam ser regulares nem normais. Mas a definição que vimos em aula inclui este conjunto de dois pontos com a topologia trivial.