Prova 1 - Verão/2020 - Questão 3

Seja $X$ um conjunto e $\tau$ uma família de subconjuntos de $X$ formada pelos abertos de uma topologia em $X$. Para cada $x \in X$, podemos construir a família
$$
\alpha(x) = \{ V \subset X \ | \ \exists A \in \tau, x \in A \subset V \}.
$$ Podemos definir a operação de fecho de duas formas diferentes:

1. $\text{cl}_1(B) = \bigcap \{ F \subset X \ | \ B \subset F, F^c \in \tau \}$.
2. $\text{cl}_2(B) = \{ x \in X \ | \ V \in \alpha(x) \implies V \cap B \neq \varnothing \}$.

Queremos mostrar que $\text{cl}_1 = \text{cl}_2$. Temos que
$$
x \in \text{cl}_1(B) \iff \forall U \in \tau, (B \subset U^c \implies x \in U^c),
$$ onde o complemento é tomado em $X$. Reescrevendo o lado direito, temos que
$$
x \in \text{cl}_1(B) \iff \forall U \in \tau, (x \notin U^c \implies B \not\subset U^c),
$$ ou seja,
$$
x \in \text{cl}_1(B) \iff \forall U \in \tau, (x \in U \implies B \cap U \neq \varnothing).
$$ Ora, mas essa última condição é equivalente a dizer que
$$
x \in \text{cl}_2(B),
$$ de modo que $\text{cl}_1(B) = \text{cl}_2(B)$, como queríamos mostrar.