Prova 1 – Verão/2020 - Questão 7

Seja $G$ um grupo topológico e $H<G$. Mostre que se $\mathring{H}\neq\varnothing$ então $H$ é aberto e fechado.

Dem:
Suponha que $x\in\mathring{H}$ e seja $y\in H$ qualquer e note que,
\begin{equation*}
yx^{-1}\mathring{H}=E_{yx^{-1}}(\mathring{H}):=\{yx^{-1}h:h\in\mathring{H}\}
\end{equation*}
é aberto em $G$, pois é a imagem do aberto $\mathring{H}$ através homeomorfismo $E_{yx^{-1}}$. Por outro lado, como $H<G$ segue-se que $yx^{-1}\mathring{H}\subset H$ e como
\begin{equation*}
y=yx^{-1}(x)=y(xx^{-1})=y\in yx^{-1}\mathring{H}
\end{equation*}
tem-se que $y\in\mathring{H}$ e, consequentemente, $H\subset\mathring{H}$ é aberto.
Por fim, mostremos que $H$ também é fechado. Com efeito, o conjunto $\{gH:g\in G\}$ das classes laterais a esquerda módulo $H$ determina uma partição de $G$. Por outro lado, $gH=E_g(H)$ é aberto para cada $g\in G$. Logo,
\begin{equation*}
H^{c}=\bigcup_{g\not\in H} gH
\end{equation*}
é união de subconjuntos abertos de $G$. Ou seja, $H^{c}$ é aberto e, portanto, $H$ é fechado.