Demonstração relâmpago: compacidade de $[a, b]$ .

2022-01-08 02:10:17.907Z

O teorema de sub-base de Alexander diz que um espaço topológico $X$ com uma sub-base $C$ é compacto quando toda cobertura $A \subset C$ possuir subcobertura finita.

Sabemos que os conjuntos da forma $(- \infty, x)$ e $(y, \infty)$ geram a topologia (usual) de $R$ . Portanto, os conjuntos da forma $[a, x)$ e $(y, b]$ formam uma sub-base para a topologia usual de $[a, b]$ .

Siga os passos seguintes:

Use o teorema de sub-base de Alexander para mostrar que $[a, b]$ é compacto.
Surpreenda-se!

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J
João Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
2022-01-08 03:41:04.360Z2022-01-08 03:47:42.379Z
Seja $S = {[a, x) : x \in (a, b]} \cup {(y, b] : y \in [a, b)}$ . Como

$⋃_{S \in S} S = [a, b]$
vemos que $S$ é uma subbase para topologia de $[a, b]$ . Agora considere $C \subset S$ uma cobertura de $[a, b]$ e mostremos que essa cobertura possui subcobertura finita. Para tanto, denote por
$J = {x \in [a, b] : [a, x) \in C}$
Note que, $J$ é não vazio pois algum elemento de $C$ tende cobrir $a$ e como para cada $x \in J$ , $x \leq b$ existe $s = sup (J)$ . Por outro lado, note que nenhum elemento da forma $[a, x) \in C$ cobre $s$ , logo deve existir $d \in (a, b]$ tal que, $s \in (d, b]$ .
Afirmo que $[a, s) \cup (d, b] = [a, b]$ . Note que, é suficiente provar que $y \in [a, b]$ então $y \in [a, s)$ ou $y \in (d, b)$ .
De fato, se isso não acontecesse então $y > s$ e $y \leq d \leq s$ uma contradição. Portanto
$[a, b] = [a, s) \cup (d, b]$
é uma subcobertura finita de $C$ . Pelo teorema de sub-base de Alexander $[a, b]$ é compacto.
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1. A André Caldas @andrecaldas
  2022-01-08 03:52:43.927Z
  Excelente ideia de usar $x \in (a, b]$ !!! Eu não tinha pensado nisso!
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Demonstração relâmpago: compacidade de [a,b].

Demonstração relâmpago: compacidade de $[a, b]$ .