Demonstração relâmpago: compacidade de $[a,b]$.

Seja $\mathcal{S}=\{[a,x):x\in (a,b]\}\cup\{(y,b]:y\in[a,b)\}$. Como

\begin{equation*}
\bigcup_{S\in\mathcal{S}}S=[a,b]
\end{equation*}
vemos que $\mathcal{S}$ é uma subbase para topologia de $[a,b]$. Agora considere $C\subset\mathcal{S}$ uma cobertura de $[a,b]$ e mostremos que essa cobertura possui subcobertura finita. Para tanto, denote por
\begin{equation}
J=\{x\in[a,b]:[a,x)\in C\}
\end{equation}
Note que, $J$ é não vazio pois algum elemento de $C$ tende cobrir $a$ e como para cada $x\in J$, $x\leq b$ existe $s=\sup(J)$. Por outro lado, note que nenhum elemento da forma $[a,x)\in C$ cobre $s$, logo deve existir $d\in(a,b]$ tal que, $s\in(d,b]$.
Afirmo que $[a,s)\cup(d,b]=[a,b]$. Note que, é suficiente provar que $y\in[a,b]$ então $y\in [a,s)$ ou $y\in(d,b)$.
De fato, se isso não acontecesse então $y>s$ e $y\leq d\leq s$ uma contradição. Portanto
\begin{equation*}
[a,b]=[a,s)\cup(d,b]
\end{equation*}
é uma subcobertura finita de $C$. Pelo teorema de sub-base de Alexander $[a,b]$ é compacto.