Dê um exemplo de uma métrica em $\mathbb{R}$, onde
$$
\overline{B}_5(\pi) \neq \overline{B_5(\pi)}.
$$
- RJunior Rodrigues Moyses @rmoyses
A métrica discreta dada por $$d(x,y) = \begin{cases} 0, & x = y \\ 5, & x \neq y \end{cases}\quad,$$ pois
$B_5(\pi) = \{ x \in \mathbb{R} / d(\pi, x) < 5 \} = \{\pi \}$, então $\overline{B_5(\pi)} = \{\pi \}$.
Por outro lado, $\overline{B}_5(\pi) = \{ x \in \mathbb{R} / d(\pi, x) <= 5 \} = \mathbb{R}$.Isto esta certo?
PS: Não consegui escrever a função d com uma chave de duas linhas, e alguém puder me ajudar eu agradeço :)
Caio Tomás de Paula @CaioTomasPrometo que não copiei de você, Junior! Hahhaha
Pra quebra de linhas, eu escrevi\begin{cases} 0, x = y \\\\ 5, x\neq y \end{cases}- RJunior Rodrigues Moyses @rmoyses
Hahahaha fica tranquilo, essa atualização da página não é tão boa não...quando atualizei e vi sua resposta eu logo imaginei que vc pensaria o mesmo pois não havia percebido que eu tinha mandado antes kkkk.... mas em relação ao código, muito obrigado :D
- AAryel Kathleen Araújo Silva @aryel_kath
acho que esse caso foi o que todo mundo pensou hehe
- Em resposta aCaioTomas⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Eu vou permitir que um edite o post do outro. Façam-no com respeito. :-)
- RJunior Rodrigues Moyses @rmoyses
Eu não sei o porque mas eu não consegui editar nem o meu... o código que deu certo para os colegas não está funcionando para mim
- AAndré Caldas @andrecaldas
Dê uma olhada nas modificações que eu fiz.
Ah... é melhor usar bastante o \$\$, ao invés de fazer "inline".
- RJunior Rodrigues Moyses @rmoyses
Entendi, muito obrigado professor.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Coloque esse monte de $B_5(\pi)$ usando \$\$, e veja como vai ficar bonito.
- Em resposta armoyses⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Como você sabe que $\overline{B_5(\pi)} = \{\pi\}$?
- RJunior Rodrigues Moyses @rmoyses
Pois, como $d(\pi,x) = 0$ ou $d(\pi,x)=5$, sob a condição de $B_5(\pi)$ ser o conjunto de todos os pontos $x$ tais que $d(\pi,x)<5$, logo a única possibilidade é $d(\pi,x)=0$, implicando na única solução em $x=\pi$. Daí, o fecho desse conjunto é o seu único elemento $\pi$.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Acho que você precisa usar alguma definição de fecho... se não, não vale... :-)
$$
\overline{B_5(\pi)} = \{ x \in \mathbb{R}:\, \forall B \in \mathcal{B}(x),\, B \cap B_5(\pi) \neq \emptyset \}.
$$- DDaniel Abreu @daniel1.abreu
O desafio vai ser abrir esses detalhes com essas notações . Simbora praticar em mais exercicios então.
- DDaniel Abreu @daniel1.abreu
Como a metrica definida foi essa $d(x,y)=0$ se $x=y$ e $d(x,y)=5$ se $x\ne y$. Então
${B_{5}(\pi)} = \lbrace x \in \mathbb{R}; d(x,\pi)<5 \rbrace = \lbrace \pi \rbrace $ , já que $d(x,\pi)=0<5$ so ocorre quando $x=\pi$.
- Em resposta aandrecaldas⬆:RJunior Rodrigues Moyses @rmoyses
Bom, segundo esta definição, tomamos $x_0 \neq \pi$ e $\epsilon$ pequeno de forma que $\epsilon < d(\pi,x_0) = 5$. Sendo assim,
$B_\epsilon (x_0) = \{x \in \mathbb{R} / d(x_0,x) < \epsilon < 5\} = \{x \in \mathbb{R} / d(x_0,x) = 0\} = \{x_0\}$.
Como $x_0 \neq \pi$, então $B_\epsilon (x_0) \cap B_5(\pi) = \emptyset$. Portanto, $x_0 \not \in \overline{B_5(\pi)}$.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Bacana!
Ou você usa o $\varepsilon$, ou você usa o $\mathcal{B}(x_0)$. (em $\LaTeX$: \$\mathcal\{B\}(x_0)\$)
Sugestão... apesar de ser tecnicamente "absurdo"... :-)
Perceba que você não usa o fato de que $x_0 \in \overline{B_5(\pi)}$. Então, não precisa supor. E aí, não tem "absurdo". Você simplesmente conclui que $x_0 \not\in \overline{B_5(\pi)}$ :-)
- RJunior Rodrigues Moyses @rmoyses
Realmente
Em resposta aandrecaldas⬆:Caio Tomás de Paula @CaioTomasCom a métrica
$$
\begin{align*}
d : \mathbb{R}^2 &\rightarrow \mathbb{R}^+
\\
(x,y) & \mapsto \begin{cases}
0, &x=y \\
5, &x\neq y
\end{cases},
\end{align*}
$$
temos $\overline{B_5}(\pi) = \mathbb{R}$. Mas, por outro lado,
$$
\overline{B_5(\pi)} =
\{\pi\}.
$$
De fato, se $x \neq \pi$, então a bola $B_1(x) = \{x\}$ não tem interseção com $B_5(\pi) = \{\pi\}$. Ou seja,
$$
\{\pi\} = B_5(\pi) \subset \overline{B_5(\pi)} \subset \{\pi\}.
$$Assim,
$$
\overline{B_5(\pi)}
=
\{\pi\}
\neq
\mathbb{R}
=
\overline{B}_5(\pi).
$$- AAndré Caldas @andrecaldas
Acho que a avaliação vai ser conforme a estética, também...
... então, você tá ganhando. :-) - Em resposta aCaioTomas⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Como você sabe que $\overline{B_5(\pi)} = \{\pi\}$?
- Caio Tomás de Paula @CaioTomas
A gente sabe que $\pi$ pertence ao fecho da bola porque ele pertence à bola e a bola está contida no próprio fecho. Pra qualquer outro real $x\neq\pi$, a bola $\{x\}$ tem interseção vazia com a bola $\{\pi\} = B_5(\pi)$, logo $\overline{B_5(\pi)} = \{\pi\}$.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Vamos transformar sua solução em uma solução modelo!!! :-)
- DEm resposta aandrecaldas⬆:Daniel Abreu @daniel1.abreu
acho que se definirmos a seguinte métrica discreta-modificada em $\mathbb{R}$
$d(x,y)=0$ se $x=y$ e $d(x,y)=5$ se $x\ne y$.Nesse caso $\overline{B_{5}(\pi)} = \overline{ \lbrace x \in \mathbb{R}; d(x,\pi)<5 \rbrace } = \overline{\lbrace \pi \rbrace} = {\pi}$.
Por outro lado , $\overline{B}_{5}(\pi)=\lbrace x \in \mathbb{R}; d(x,\pi) \leq 5 \rbrace = \mathbb{R} $ . E o resultado segue.
- AAryel Kathleen Araújo Silva @aryel_kath
Poxaa tava escrevendo esse agora
- Em resposta adaniel1.abreu⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Como você sabe que $\overline{B_5(\pi)} = \{\pi\}$?
- DDaniel Abreu @daniel1.abreu
Professor , eu recordei de analise da reta mesmo vendo essa conjunto como conjunto discreto . Mas ja vi seu comentario anterior falando para abrir mais usando a definiçao de feicho.
Obs: É so comigo ou acontece com mais alguem ? A medida que vou digitando o site fica extremanente lento .
- AAndré Caldas @andrecaldas
É essa pré-visualização que é muito lenta com o "$\LaTeX$". O que eu faço é digitar num editor de texto e depois colar aqui.
- Em resposta aandrecaldas⬆:AAryel Kathleen Araújo Silva @aryel_kath
Por ser bola aberta, $d(x,y)<5$, como a distância só pode assumir 0 ou 5, o único $x \in \mathbb{R}$ é quando $x= \pi$, daí $B_5(\pi)= \{\pi\}$.
A bola tá contida no fecho por definição, então como $ \pi $ tá na bola, tá no fecho, assim $\overline{B_5(\pi)}=\{\pi\}$.
- DEm resposta aandrecaldas⬆:Daniel Abreu @daniel1.abreu
no tempo que eu tava digitando a gelara ja fez kkk
- DEm resposta aandrecaldas⬆:eduardo felipe @dadofelipe
Não tenho certeza se esta certo, se alguém puder me ajudar agradeço.
\
Considere $\textbf{m}$ a métrica usual do $\mathbb{R}^n$ então definimos $d : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^+$ onde para cada par de pontos $(x,y)$ temos a métrica $d(x,y)=\max \lbrace 5,\textbf{m}(x,y)\rbrace $. Recordemos a definição de uma bola aberta.
$$B_5(\pi) = \lbrace x \in \mathbb{R} / d(\pi, x) < 5 \rbrace = \textbf{m}(\pi,x) < 5$$
Ou seja, é a bola aberta centrada em $\pi$ com raio igual a 5. Consideremos o fecho desta bola, temos pela definição.
$$\overline{B_5(\pi)} = \lbrace x \in \mathbb{R}:, \forall B \in \mathcal{B}(x), B \cap B_5(\pi) \neq \emptyset \rbrace .$$
Como $B_5(\pi)$ é a bola aberta usual do $\mathbb{R}$. Perceba que $\textbf{não é possível}$ tomar nenhuma bola com raio menor que 5, pois teríamos um conjunto vazio de pontos. Como $B_5(\pi)$ tem raio 5, os pontos $x$ do fecho são os que satisfazem
$$d(\pi,x)\leq 10$$
E ainda
$$\overline{B}_{5}(\pi)=\overline{\textbf{m}(\pi,x)}$$
Logo são distintos- Deduardo felipe @dadofelipe
Ignorem o exemplo kkkk nem métrica é. Valeu a tentativa
- AAndré Caldas @andrecaldas
É só trocar $\mathrm{max}$ por $\mathrm{min}$. Achei seu exemplo muito bom. Tem que corrigir esse argumento de "conjunto vazio".
- Em resposta adadofelipe⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Seu exemplo está muito bom. Só tem que trocar $\max$ por $\min$.