O interior é vizinhança

Você precisa usar a definição de $\mathring{D}$ que está no enunciado.

Só no começo do curso... depois, você pode usar a definição que você quiser. :-)

Também seria bacana (sendo um pouco chato), que você formatasse sua resposta bem bonitinha... como se você estivesse escrevendo um artigo. Ou melhor... um livro didático. Também queria que você abrisse bastante as coisas... fazendo referência a todas as definições.

Por exemplo:
Como o enunciado não apresenta nenhuma definição para $\mathcal{V}(x)$, vamos utilizar
$$
\mathcal{V}(x) = \{V \subset X :\, \exists B \in \mathcal{B}(x),\, B \subset V\}.
$$

($\Leftarrow$)

Sabemos que $\mathring{D} \subset D$, pois
$$
x \in \mathring{D}
\Leftrightarrow
\\
D \in \mathcal{V}(x)
\Rightarrow
x \in D.
$$
A última implicação é consequência da definição de $\mathcal{V}(x)$, e a demonstração depende de sua definição. Pela definição que adotmos, $V$ contém uma bola $B \in \mathcal{B}(x)$. Então, a última implicação segue do fato de que $x \in B \subset V$. (se quiser ser muito chato, você pode falar do fato de $d(x,x) = 0$. :-)

($\Rightarrow$)

Assumindo que $D \in \mathcal{V}(a)$, vamos mostrar que $\mathring{D} \in \mathcal{V}(a)$.

Por hipótese, existe $B \in \mathcal{B}(a)$, tal que $B \subset D$. Como $B$ é um conjunto aberto (não precisa demonstrar... mas então, seria bom colocar um link!), é vizinhança de todos os seus pontos. Ou seja,
$$
x \in B
\Leftrightarrow
B \in \mathcal{V}(x)
\
\Rightarrow
D \in \mathcal{V}(x)
\
\Leftrightarrow
x \in \mathring{D}.
$$
Ou seja, $B \subset \mathring{D}$. E portanto, por conter uma bola centrada em $a$, $\mathring{D} \in \mathcal{V}(a)$.