Interseção de fechados.

Seja $x\in \bigcap_{\lambda\in L} F_{\lambda}$, onde $L$ é um conjunto qualquer de índices, e cada $F_{\lambda}$ é fechado. Então,

$$x\in \bar{F}_{\lambda}, \forall \lambda\in L,$$

donde $V\cap F_{\lambda}\neq \emptyset,,\forall, V\in \mathcal{V}(x)$, para cada $\lambda\in L$.

Note que isto implica $$\bigcap_{\lambda\in L} V\cap F_{\lambda}\neq \emptyset,$$ para cada vizinhança $V$ de $x$, pois do contrário, teríamos a existência de alguma $V\in \mathcal{V}(x)$ e algum $\lambda_0$ para os quais $V\cap F_{\lambda_0}= \emptyset$ , contrariando $x\in \bar{F}_{\lambda_0}$.

Assim,
$$V\cap(\bigcap_{\lambda\in L}F_{\lambda})= \bigcap_{\lambda\in L} V\cap F_{\lambda}\neq \emptyset, \forall,V\in \mathcal{V}(x),$$ou seja, $x\in cl(\bigcap_{\lambda\in L} F_{\lambda})$. (Obs: cl quer dizer fecho.)

A recíproca é direta
$$ x\in cl(\bigcap_{\lambda\in L} F_{\lambda})\implies V\cap(\bigcap_{\lambda\in L}F_{\lambda})= \bigcap_{\lambda\in L} V\cap F_{\lambda}\neq \emptyset,\ \forall\ V \in \mathcal{V}(x)$$

que implica

$$V \cap F_{\lambda} \neq \emptyset, \forall V \in \mathcal{V}(x), \forall \lambda \in L\implies x \in \overline{F_{\lambda}}, \forall \lambda\in L \implies x \in \bigcap_{\lambda\in L} F_{\lambda}$$

PS: Parece que o $\TeX$ aqui não gosta muito de \bar com "índice": $\bar{F}_x$.

Queremos provar que $\cap \mathcal{F}= \overline{\cap \mathcal{F}}$, para isso precisamos provar que:

a) $\cap \mathcal{F} \subseteq \overline{\cap \mathcal{F}}$
b) $\overline{\cap \mathcal{F}}\subseteq \cap \mathcal{F}$

Note que a primeira inclusão sai de imediato da definição. Então só precisamos provar que:

$\overline{\cap \mathcal{F}} \subseteq \cap F.$

Seja $x \in \overline{\cap \mathcal{F}}$, pela definição de fecho, temos que para toda vizinhança $x$, $V\cap \mathcal{F} \neq \emptyset$ o que implica que $x \in V$ e $x \in \mathcal{F}$.
Logo, $x \in \cap \mathcal{F}$.
Daí,
$\overline{\cap \mathcal{F}}\subseteq \cap \mathcal{F}$ como queriamos provar.

Obs: Tentei responder sem olhar as respostas dos colegas. Agora, irei comparar a minha ideia com o que foi postado aqui.