Será que é fechado?
Dado $(X,\tau)$ um espaço topológico, definimos os abertos da topologia induzida em um subespaço $X'$ como sendo a interseção dos elementos de $\tau$ com $X'$.
Considere o seguinte subconjunto da reta real:
$$Y= [2,4] \cup (5,6).$$
- Será que $(5,6)$ é fechado em $Y$ com a topologia induzida pela topologia usual de $\mathbb{R}$?
- E esse mesmo conjunto é aberto em $Y$?
Caio Tomás de Paula @CaioTomasCom a topologia padrão de $\mathbb{R}$, o $(5,6)$ seria aberto pois para todo ponto interior $x$ a gente consegue um $\varepsilon$ suficientemente pequeno de modo que a bola $(x-\varepsilon, x + \varepsilon)$ está inteiramente contida em $(5,6)$. Para todo o $Y$ eu diria que não é nem aberto nem fechado, porque nem todo ponto é interior (já que $[2,4]$ é fechado) mas também não é igual ao seu fecho, que seria $[2,4]\cup[5,6]$.
- AEm resposta amattheuspsa⬆:Ayrton Teixeira @AyrtonAnjos
Vou chamar $(5,6)$ de $X$ e denotar o fecho de $X$ em $Y$ por $\tilde{X}$. Se não me engano $\tilde{X}=\overline{X}\cap Y=(5,6)$, aqui $\overline{X}$ é o fecho de $X$ na reta. Então $X$ é fechado em $Y$. De modo análogo $[2,4]$ é fechado em $Y$, então seu complementar em $Y$, $(5,6)$ é aberto.
Então acredito que esse conjunto seja aberto e fechado em $Y$. Acho que não vimos o primeiro fato que utilizei, mas tem no livro do espaços métricos do Elon (Prop. 3.4.10). - AEm resposta amattheuspsa⬆:André Caldas @andrecaldas
Acho que essa pergunta escapuliu... :-)
- VEm resposta amattheuspsa⬆:VITORIA CHAVES FERNANDES @VitoriaC
Vamos mostrar que o complementar de $(5,6)$ é aberto.
Seja $B(x,r)$ a bola aberta de centro $x$ e raio $r$, de modo que $B(x,r) \subset (5,6)^{c}$, ou seja
$B(x,r) \subset [2,4]$ $\Rightarrow $ $x \in int((5,6)^{c}).$- AAndré Caldas @andrecaldas
$Y$ não é aberto (na topologia de $X$).
A questão aqui, é que temos dois espaços topológicos: $X$ e $Y$. Então, não podemos dizer "tal conjunto é aberto". Temos que dizer "tal conjunto é aberto na topologia xxx".
Então a pergunta é:
O conjunto $(5,6)$ é aberto "em $Y$"? (ou seja, na topologia de $Y$)Claro que $(5,6)$ não é aberto em $X$, porque $5$ está no fecho. Mas nem $5$ e nem $6$ estão em $Y$. Então, será que o conjunto $(5,6)$ não é fechado na topologia de $Y$? Será?... :-)
- Em resposta aVitoriaC⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Você pode mostrar que o complementar
$$
(5,6)^c = [2,4]
$$
é aberto.- AAndré Caldas @andrecaldas
Então... edite seu post e mostre que $[2,4]$ é aberto em $Y$.