Bolas abertas fechadas

Tomando um espaço métrico $(X,d)$ sendo $d$ a métrica discreta dada por
$$
\begin{align*}
d : X \times X &\rightarrow \mathbb{R}^+
\\
(x,y) & \mapsto \begin{cases}
0, &x=y \\
1, &x\neq y
\end{cases} ,
\end{align*}
$$ as bolas de raio menor ou igual a $1$ são conjuntos unitários, que são fechados.

Seja $X= \begin{Bmatrix}
z \in \mathbb{R}^{2}; \mid z \mid \leq 1 \end{Bmatrix}$ o disco de centro $0$ e raio $1$, com a métricia euclidiana do plano $d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}^{+}$.

No espaço métrico $(X,d)$, temos $B(0;r)=B[0;r]$, se $r> 1.$

Seja $q\in\mathbb{Q}$. Então $B(q,\sqrt{2})=\{p\in\mathbb{Q}; |p-q|<\sqrt{2}\}$ é uma bola aberta e fechada simultaneamente.

$B(q,\sqrt{2})$ é aberta, por definição de bola aberta.

$B(q,\sqrt{2})$ é fechada.
Para isso, vamos mostrar que $\mathbb{Q}\backslash B(q,\sqrt{2})$ é um conjunto aberto. De fato, seja $p\in \mathbb{Q}\backslash B(q,\sqrt{2})$ um elemento qualquer. Assim,
$$|p-q|\geq\sqrt{2}\Leftrightarrow p-q\geq \sqrt{2} \mbox{ ou } p-q\leq - \sqrt{2}$$

Vamos fazer o caso em que $p-q\geq \sqrt{2}$. O outro é análogo.

Por hipótese, $p$ e $q$ são racionais, desta maneira, $p\neq q+\sqrt{2}$. Assim, $p>q+\sqrt{2}$.
Considere $\alpha=p-(q+\sqrt{2})>0$. Daí,
$$q-\sqrt{2}<q<q+\sqrt{2}=p-\alpha<p<p+\alpha$$
Seja $B(p,\alpha)=\{r\in\mathbb{Q}; |r-p|<\alpha\}.$
Note que
$$B(q,\sqrt{2})\cap B(p,\alpha)=\emptyset$$
Suponhamos por absurdo que exista $s\in (B(q,\sqrt{2})\cap B(p,\alpha)).$ Logo,
$$q-\sqrt{2}<s<q+\sqrt{2} \ \ \ \ \ \ \ \mbox{ e } \ \ \ \ \ \ \ p-\alpha<s<p+\alpha.$$
Já sabemos que $q+\sqrt{2}=p-\alpha$. Assim,
$$q-\sqrt{2}<s<q+\sqrt{2}=p-\alpha<s<p+\alpha\Rightarrow s<s,$$
o que é um absurdo.
Logo, $B(q,\sqrt{2})\cap B(p,\alpha)=\emptyset.$
Isto implica que $$B(p,\alpha)\subset \mathbb{Q}\backslash B(q, \sqrt{2}),$$
ou seja, $\mathbb{Q}\backslash B(q,\sqrt{2})$ contém uma bola aberta e desse modo, $\mathbb{Q}\backslash B(q, \sqrt{2})$ é aberto. Consequentemente, $B(q,\sqrt{2})$ é fechado.