Lista 1/02- Exercício 5
No exercício 5 não consegui perceber nenhum problema na continuidade da função $f$ mesmo quando $X,Y$ são pseudo-métricos. Pois, dado $\delta>0$ temos, $d(x,b)<\delta\Rightarrow d(f(x),f(b))=d(a,a)=0<\epsilon,\forall\epsilon>0$.
Então o fato de eventualmente ser $d(x,y)=0$ com $x\neq y$ não parece interferir em nada. Estou certo ? Uma função constante é sempre contínua mesmo em espaços pseudo-métricos?
- AAndré Caldas @andrecaldas
Não existe nenhum problema na continuidade. Você só precisa responder à pergunta:
Quando é que a função é descontínua?
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Certo, então no caso de uma função constante a resposta é nunca. Porém, se $f:X\rightarrow Y$ for uma função arbitrária onde $X,Y$ são pseudo-métricos e $a$ é um ponto tal que, $d(x,a)=0$ para algum $x\neq a$ isso implica que $x\in B_{\delta}(a)$ para todo $\delta>0$. Assim, se $f(x)$ for diferente de $f(a)$ então $f$ não é contínua. Então, se existissem uma quantidade infinita desses $x$ tais que, $d(x,a)=0$, $f$ é contínua em $a$ se, e somente se, é constante numa vizinhança de $a$? Acho que acabei me confundindo mais kkkk
- AAndré Caldas @andrecaldas
[...] então a resposta é nunca.
Exato!
Porém, [...]
Depende de quem são as vizinhanças de $f(a)$. Se $d(f(a), f(x)) = 0$, não tem problema.
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Sim, entendi agora. Mesmo sendo $f(x)\neq f(a)$ podemos ter $d(f(a),f(x))=0$. Obrigado professor.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Você fez uma boa observação!