Métricas equivalentes

Primeiramente, vamos determinar o que seriam as bolas de cada uma das métricas induzidas pelas normas em $\mathbb{R}^n$.
$\quad$1. $d_\infty(x,y)=\|y-x\|_\infty = \max(|y_1 -x_1|, \dotsc, |y_n -x_n|)$

$\quad$2. $d_\sigma(x,y)=\|y-x\|_\sigma= |y_1 -x_1| + \dotsb + |y_n -x_n|$

$\quad$3. $d(x,y)=\|y-x\|= \sqrt{|y_1 -x_1|^2 + \dotsb + |y_n -x_n|^2}$

Logo, para todo $x \in \mathbb{R}^n$ temos que a $B \in \mathcal{B}(x)$ tem a seguinte forma:
$$B_\infty^{\epsilon}(\vec{0})=\lbrace x \in \mathbb{R}^n / d_\infty(x,0)<\epsilon\rbrace$$

$$B_\sigma^{\epsilon}(\vec{0})=\lbrace x \in \mathbb{R}^n / d_\sigma(x,0)<\epsilon\rbrace$$

$$B^{\epsilon}(\vec{0})=\lbrace x \in \mathbb{R}^n / d(x,0)<\epsilon\rbrace$$

Da métrica euclidiana (3) temos que a bola realmente é a bola usual, logo o sistema de vizinhanças são os conjuntos que contém a esfera n-dimensional.. métrica se este conjunto representa as vizinhanças na metrica (1).

A $B_\infty^{\epsilon}(\vec{0})$ são os vetores que tem sua sua maior coordenada em modulo menor que $\epsilon$ .Agora tome $x \in B^{\epsilon}(\vec{0})$ temos mostraremos que $x \in B_\infty^{\epsilon}(\vec{0})$. Suponha que $x$ tenha uma coordenada $x_l$ igual a $\epsilon$ Logo
$$d(x,0)= \sqrt{|x_1|^2 + \dotsb + |x_{l-1}|^2+\epsilon^2+\dotsb +|x_n|^2}$$
Mesmo que todas as demais coordenadas fossem nulas teríamos um $c$ número real tal que
$$d(x,0)=\sqrt{\epsilon^2+c} \geq \sqrt{\epsilon^2}=\epsilon<\epsilon$$
Um absurdo , logo nenhuma coordenada de x pode ser maior ou igual a $\epsilon$ portanto $x \in B^{\epsilon}(\vec{0}) \subset B_\infty^{\epsilon}(\vec{0})$

Agora observe a (2) para (1)
Se $x \in B_\sigma^{\epsilon}(\vec{0})$ então a soma de suas coordenadas em modulo é menor que $\epsilon$, logo ela satisfaz a condição da metrica (1), pois suponha por absurdo que exista $x_l=\epsilon$ teríamos, um numero real c tal que
$$|x_1|+ \dotsb +|x_{l-1}| +\epsilon +\dotsb |x_n|= \epsilon +c< \epsilon$$
absurdo. Logo $B_\sigma^{\epsilon}(\vec{0}) \subset B_\infty^{\epsilon}(\vec{0})$
Observamos então que uma vizinhança de $B_\infty^{\epsilon}(\vec{0})$ é vizinhança das outras métricas também.