Transformação linear contínua

Afirmamos que $T:\mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}^q$ é Lipschitiziana na norma $| \cdot |_\infty$ , isto é, existe $M>0$ tal que dados $x,y \in \mathbb{R}^p$ tem-se que $|Tx-Ty|_\infty\leq M| x-y|_\infty$.

De fato, seja $k=\textrm{Max}{||Te_{1}||_\infty,||Te_{2}||_\infty,\cdots,||Te_{p}||_\infty}$, onde os vetores $e_{1},e_{2},\cdots,e_{p}$ formam uma base de
$\mathbb{R}^p$ . Dai para todo $v=(v_{1},v_{2},\cdots, v_{p})\in\mathbb{R}^p$ , temos que

$$v=(v_{1},v_{2},\cdots,v_{p} )=\sum_{i=1}^{p}v_{i}{e_i}$$

Dai , considere as normas do máximo $||\cdot||_\infty$ em $\mathbb{R}^q$, temos que

$$|Tv|_\infty=\left|T\left(\sum_{i=1}^{p} v_{i}{e_i}\right)\right|_\infty =\left|\sum_{i=1}^{p}v_{i}T{e_i}\right|_\infty \leq\sum_{i=1}^{p} |v_{i}||T{e_i}|_\infty\leq k \cdot\sum_{i=1}^{p}|v_{i}|$$

Como $| v_{i}|\leq | v |_\infty $, temos que a desiqualdade acima pode ser escreita como

$$|Tv|_\infty\leq k\cdot\sum_{i=1}^{p}|v|_\infty=kp|v|_\infty$$

Fazendo $M=kp$ e $v=x-y$, segue da desigualdade acima que $T:\mathbb{R}^p\rightarrow\mathbb{R}^q$ é Lipschitiziana .

Feito isso, podemos concluir que $T$ é contínua em todo
$\mathbb{R}^p$ e, em particular, $T$ é contínua em $0 \in \mathbb{R}^p$.