Bola aberta é aberta

Sejam M um espaço métrico qualquer, $a \in M$ e $B_r(a) \subset M$ uma bola aberta de raio $r>0$.

Para cada $x \in B_r(a)$, temos que $d(a,x) < r$. Tome $s = r - d(a,x)$. Note que $s > 0$. Vamos mostrar que $B_s(x) \subset B_r(a)$. Para tanto, vamos tomar um $y \in B_s(x)$ arbitrário. Segue que $d(x,y) < s$. Pela desigualdade triangular, temos
$$d(a,y) \leq d(a,x) + d(x,y) < d(a,x) + s = r.$$
Logo $y \in B_r(a)$. Como $y \in B_s(x)$ é arbitrário, $ B_s(x) \subset B_r(a)$.