Seminormas

Seja $V$ um espaço vetorial. Uma seminorma é uma aplicação $[ \ \cdot \ ] : V \to \mathbb{R} $ que satisfaz as seguintes propriedades:

1. $[v]\ge 0, \forall v \in V$
2. $[\alpha v] = |\alpha|[v], \forall \alpha \in \mathbb{R}$ e $\forall v \in V$
3. $[v+u]\le [v]+ [u], \forall v,u\in V$

Observe que a propriedade 2 assegura que $[0]=0$, afinal $0=0v$. Além disso, toda norma é uma seminorma e a diferença entre uma norma e uma seminorma é que nesta última pode acontecer de um vetor possuir "tamanho" zero sem que este seja o vetor nulo.
Sejam então $[ \ \cdot \ ]_1$ e $[ \ \cdot \ ]_2$ duas seminormas em $V$ e definamos $[ \ \cdot \ ]:V\to \mathbb{R}$ por:
$$
[v]=[v]_1+[v]_2, \forall v \in V
$$
Mostremos então que $[ \ \cdot \ ]$ é uma seminorma em $V$. Com efeito:

1. Dado $v \in V$, temos que $[v]_1\ge0$ e $[v]_2\ge0$. Portanto, $[v]\ge 0$.
2. Dados $\alpha\in \mathbb{R}$ e $v\in V$, temos que:
   $$
   [\alpha v]=[\alpha v]_1+[\alpha v]_2=|\alpha|[v]_1+|\alpha|[v]_2=|\alpha|([v]_1+[v]_2)=|\alpha|[v]
   $$
3. Dados $v,u\in V$, temos que:
   $$
   [v+u]=[v+u]_1+[v+u]_2\le[v]_1+[u]_1+[v]_2+[u]_2=[v]_1+[v]_2+[u]_1+[u]_2=[v]+[u]
   $$
   Portanto, $[ \ \cdot \ ]$ é de fato uma seminorma. Adicionamente, suponhamos que a seminorma $[ \ \cdot \ ]_2$ seja na verdade uma norma, isto é, além de satisfazer as propriedades 1, 2 e 3, vale que $[v]_2=0\iff v = 0$. É claro que a aplicação $[ \ \cdot \ ]$ continua sendo pelo menos uma seminorma, já que ela ainda é a soma de duas seminormas. Para mostrarmos que $[ \ \cdot \ ]$ é, neste caso, uma norma, basta verificar que se $[v]=0$, então $v=0$. De fato, se $v \in V$ é tal que $[v]=0$, então:
   $$
   [v]_1+[v]_2=0
   $$
   Como $[v]_1\ge0$ e $[v]_2\ge0$, segue que $[v]_1=[v]_2=0$. Mas estamos supondo que $[ \ \cdot \ ]_2$ é uma norma, então como $[v]_2=0$, $v$ tem de ser o vetor nulo e disso segue que $[ \ \cdot \ ]$ é uma norma caso uma das duas seminormas for uma norma.

Primeiramente nos lembremos que uma aplicação $p: V \rightarrow \mathbb{R}$ é dita uma seminorma se satisfaz:
i) $p(x) \geq 0, \forall x \in V$;
ii) $p(\alpha x) = |\alpha| p(x), \forall x \in V, \forall \alpha \in \mathbb{R}$;
iii) $p(x+y) \leq p(x) + p(y), \forall x, y \in V$.
É imadiato perceber que $p(x) = 0$ se $x = 0$, pois, pelo item ii) acima temos:
$$p(0) = p(0x) = 0p(x) = 0,$$
onde $x$ é um vetor qualquer em $V$. Agora consideremos $p,q$ seminormas em $V$. Vejamos que $p+q$ satisfaz os itens $i),ii)$ e $iii)$ anteriores. Considerando $x,y \in V$ e $\alpha \in \mathbb{R}$ temos:
i) $(p+q)(x) \geq 0$, afinal, $p(x) \geq 0$ e $q(x) \geq 0$.
ii)$(p+q)(\alpha x) = p(\alpha x) + q(\alpha x) = |\alpha|p(x) + |\alpha| q(x) = |\alpha|(p(x) + q(x)) = |\alpha|(p+q)(x).$
iii)
\begin{align*}
(p+q)(x+y) & = p(x+y) + q(x+y)
&\leq [p(x) + p(y)] + [q(x) + q(y)]
& = [p(x) + q(x)] + [p(y) + q(y)]
& = (p+q)(x) + (p+q)(y).
\end{align*}
Note que a única diferença entre uma norma e uma seminorma é que, se $p$ é uma norma, vale $p(x) = 0$ se, e somente se, $x = 0$, em contrapartida, se $p$ é uma seminorma pode acontecer de $p(x) = 0$ mesmo se $x \neq 0$. Suponhamos, pois, que $p$ seja uma norma em $V$. Se $(p+q)(x) = 0$, então $p(x) = 0$ e $q(x) = 0$, afinal, esses números são positivos. Como $p$ é uma norma em $V$ segue que $x = 0$, como queríamos.