Espaços normados: condição que implica normas equivalentes

Sejam $||\cdot||_1, ||\cdot||_2$ duas normas arbitrárias em $\mathbb{R}^n$. Considere então o operador $T: (\mathbb{R}^n,||\cdot||_1)\to (\mathbb{R}^n,||\cdot||_2)$ dado por $T(v)=v$. Claramente, $T$ é linear, afinal:
$$
T(v+\alpha u)=v+\alpha u = T(v)+\alpha T(u)
$$
Seja $S= \{ v \in \mathbb{R}^n:||v||_1=1\}$ a esfera de $(\mathbb{R}^n,||\cdot||_1)$. Temos que $S$ é um conjunto compacto. Como $T$ é um operador linear entre espaços euclidianos, $T$ é contínuo, assim pelo Teorema de Weierstrass, $T(S)$ é compacto em $(\mathbb{R}^n,||\cdot||_2)$. Logo, existem $c_1,c_2>0$ tais que:
$$
c_1\le ||T(v)||_2 \le c_2, \forall v \in S
$$
Isto é,
$$
c_1\le ||v||_2\le c_2, \forall v \in S
$$
Seja então $v\neq 0$ arbitrário em $\mathbb{R}^n$. Note que $u:=\dfrac{v}{||v||_1}\in S$, logo:
$$
c_1 \le ||u||_2 \le c_2\implies c_1 \le \bigg|\bigg|\dfrac{v}{||v||_1}\bigg|\bigg|_2 \le c_2 \implies c_1||v||_1\le ||v||_2\le c_2||v||_1
$$
Naturalmente, para $v=0$ vale a igualdade na expressão acima, assim:
$$
c_1||v||_1\le||v||_2\le c_2||v||_1, \forall v \in \mathbb{R}^n
$$
e segue então o resultado.