Oi pessoal,
No vídeo extra de ontem sobre métrica induzida e métrica produto, o professor explicou sobre $A^X$, conjunto das funções de $X$ em $A$. Ele disse algo nesse sentido "uma função é um produto gigantesco" (a partir 12:00), alguém pode explicar essa expressão que ele fala? Eu não compreendi muito bem.
Caio Tomás de Paula @CaioTomasOi, Marcio!
Pelo que eu entendi, o que o professor quis dizer é que o espaço de funções (ou seja, o conjunto de todas as funções) de $X$ em $A$ pode ser pensado como uma espécie de ''produto cartesiano infinito" de $X$ "cópias" de $A$. Creio que a intuição por trás seria que uma função $f$ de $X$ em $A$ associa, a cada ponto de $X$, um único ponto de $A$, de modo que a imagem de uma determinada $f$ pode ser pensada como um vetor de (a priori) infinitas coordenadas: $$(\text{Imagem de um ponto de } X, \text{Imagem de outro ponto de } X, \dots).$$ Daí, pensar no conjunto de todas as $f$ possíveis seria pensar no conjunto de todos esses "vetores", fazendo analogia com o produto cartesiano.
Espero ter ajudado :-)
PS: um exemplo concreto poderia ser $A = [0,1]$ e $X=\mathbb{N}$: o conjunto $A^X = [0,1]^{\mathbb{N}}$ seria o conjunto de todas as sequências $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ tais que $x_n\in[0,1]$.
- MMarcio Henrique @marciodoblackpink
Aah sim, esclareceu demais. Muitíssimo obrigado. ^^
- Em resposta aCaioTomas⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Ainda bem que eu não respondi! :-)