Métrica induzida e vizinhanças
Este é o canal de chat Métrica induzida e vizinhanças, criado por Matheus (Matheus de Freitas Souza), 2021-12-03 15:00:33.183Z
No vídeo extra da aula 2, o professor fala em métrica induzida. Se $X$ é um espaço métrico e $Y\subseteq X$, que tipos de vizinhanças tem os pontos de $Y$ (com a a métrica induzida de $X$)?
Eu estava com problemas para chegar a uma intuição correta sobre como a métrica pode influenciar os tipos de vizinhança. Seguem algumas ideias (vejam o que acham):
Se $Y$ é aberto, então as vizinhanças de $a \in Y$ são simplesmente as vizinhanças de $a$ em $X$ mas que estão contidas em $Y$, pois sempre há uma bola centrada em $a$ contida em $Y$.
Se $Y\subseteq \mathbb{R}^2$ (com a métrica euclidiana) é um conjunto compacto que intercepta seu bordo, os pontos do bordo não podem ter vizinhanças, enquanto os pontos interiores sempre têm alguma. Se, nesse mesmo caso, consideramos a métrica discreta, então todos os pontos sempre têm vizinhanças, já que as bolas contém apenas um ponto (o centro).
Aqui eu usei a ideia intuitiva de bordo, espero não ter falado besteira. Se alguém tiver mais ideias, gostaria de ver para melhorar a intuição neste aspecto.
São exatamente as bolas do 'conjunto maior' que estão contidas no 'conjunto menor', já que a forma de medir distâncias é a mesma. No final, acho que é só olhar para estas bolas, não tem tanto segredo. Mesmo assim, é interessante pensar em exemplos particulares. Desculpe a demora, não chegou notificação.