Para o caso a seguir, verifique que o sistema de vizinhança descrito define uma topologia. Ou seja, verifique que satisfaz os axiomas de 1 a 5 descritos na vídeo aula.
Tente descrever em português o significado de $x \in \overline{B}$ nessa topologia. Descreva também quando é que uma sequência $x_n$ converge para um ponto a em nessa topologia topologias.
$X$ é um conjunto qualquer e
$$\mathscr{V}(x)=\lbrace V \subset X | \, x \in V, \text{$V^c$ é finito} \rbrace .$$
- AAyrton Teixeira @AyrtonAnjos
Primeiramente vamos verificar as condições 1-5.
- Por definição, $x\in V$, para qualquer $V\in \mathscr{V}(x)$.
- Se $V\in \mathscr{V}(x)$ e $V\subseteq W$, então $W\in \mathscr{V}(x)$ pois $x\in W$ e $W^c\subseteq V^c$. Portanto $W^c$ é finito.
- Temos $X\in \mathscr{V}(x)$ pois $X^c$ é vazio e portanto finito.
- Para $V,W\in\mathscr{V}(x)$ vale que $(V\cap W)\in\mathscr{V}(x)$ pois $(V\cap W)^c\subseteq V^c\cup W^c$ e portanto é finito.
- Para verificar essa condição mostraremos que $V=intV$, onde $V\in\mathscr{V}(x)$. Temos:
$$intV=\{a\in V\mid V\in\mathscr{V}(a)\}$$
Mas $V\in\mathscr{V}(a)$ é, por definição, que $V^c$ seja finito, o que acontece pois $V\in\mathscr{V}(x)$. Logo $intV=V$ e portanto $intV\in\mathscr{V}(x)$.
Sobre $x\in\bar{B}$ pensei o seguinte. Se $B$ for um conjunto finito diferente de $X$, então $x\in B$, pois caso contrário $X-B$ é uma vizinhança de $x$ que não intersecta $B$, absurdo. Ou seja, conjuntos finitos são fechados nessa topologia (argumentamos o caso que $B\neq X$, mas como $X$ é fechado vale essa afirmação). Também podemos afirmar que se $X$ for um conjunto finito, então todos os seus subconjuntos são fechados.
Agora se $B$ for infinito (em particular, $X$ é infinito), podemos pensar as vizinhanças de um ponto como os subconjuntos "grandes" de $X$ (pois possuem complementar finito), assim $B$ precisaria ser grande também para intersectar todos eles, mais que isso $\bar{B}=X$. De fato, tomando $x\in X$ e $V\in\mathscr{V}(x)$ temos $V\cap B$ não vazio, pois caso contrário teríamos $B\subseteq V^c$ e $V^c$ é finito.
Resumindo, se $B$ for finito, um elemento pertencer ao fecho quer dizer que ele está no próprio conjunto. Se $B$ for infinito, estar no fecho diz nada pois todo elemento de $X$ está no fecho.Agora seja $(x_n)$ uma sequência que converge para $a\in X$ e que possui infinitos termos distintos. Tome uma vizinhança $V\in \mathscr{V}(a)$, então existe $N$ tal que $n\geqslant N$ garante que $x_n\in V$, pois caso contrário poderíamos encontrar infinitos termos que não estão em $V$, absurdo pois $V^c$ é finito. Note que essas sequências convergem para qualquer $a\in X$.
No caso geral não consegui pensar em algo mais interessante.- AAndré Caldas @andrecaldas
Acho que $x_n$ não converge para $a$, quando $x_n$ assumir um mesmo valor $b \neq a$ infinitas vezes.
Se $X = \mathbb{R}$, por exemplo, então a sequência $x_n = n$ converge para todos os pontos. Certo?
- AAyrton Teixeira @AyrtonAnjos
É verdade, bastaria tomar a vizinhança $X-\{b\}$ de $a$. Como $b$ se repete infinitas vezes, não existe $N$ tal que $n\geqslant N$ implica $x_n\in X-\{b\}$. Seria preciso trocar essa condição por "nenhum termo da sequência se repete infintas vezes". Daí, suponha que exista uma vizinhança $V$ de $a$, tal que para cada $n$ exista $m=m(n)\geqslant n$ tal que $x_m\notin V$. Assim podemos fazer a seguinte construção, tome $m_0=m(1)$ tal que $x_{m_0}\notin V$, por hipótese existe $n_1$ tal que $x_{n_1}$ e nenhum termo após esse índice será igual a $x_{m_0}$, agora tome $m_1=m(n_1)$ tal que $x_{m_1}\notin V$, novamente existe $n_2$ tal que $x_{n_2}$ e nenhum termo após esse índice será igual à $x_{m_1}$ (e também à $x_{m_0}$), agora podemos tomar $m_2=m(n_2)\notin V$. Prosseguindo dessa forma obtemos uma quantidade arbitrária de termos que não estão em $V$, absurdo.
Considerando esse exemplo podemos simplificar o argumento. Seja $a\in \mathbb{R}$ e $V\in\mathscr{V}(a)$, como $V^c$ é finito podemos tomar $m=\text{sup}(V^c)$, daí para $n>m$ temos $x_n=n>m$, ou seja, $x_n\notin V^c$, logo $x_n\in V$.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Tem que melhorar essa notação de supremo.
O ponto de convergência pode aparecer infinitas vezes.
- AAyrton Teixeira @AyrtonAnjos
Beleza, melhorei.
Sobre esse caso, acho que dá para melhorar a resposta da seguinte forma. Se $(x_n)$ possui dois termos $a,b$ que se repetem infinitas vezes, então essa sequência não converge para ponto algum, de fato, tomando $c\in X$ podemos supor que $c\neq a$, daí é suficiente considerar a vizinhança $X-\{a\}$ de $c$. De forma mais geral, uma sequência convergente possui no máximo um termo que se repete infinitas vezes.
Agora vamos considerar o caso em que $(x_n)$ possui exatamente um termo $b$ que se repete infinitas vezes. Se $(x_n)$ é eventualmente constante igual à $b$ então a sequência converge para $b$ e somente para $b$.
Caso contrário, defina $\mathbb{N}_1=\{n\in\mathbb{N}\mid x_n=b\}$ e $\mathbb{N}_2=\mathbb{N}-\mathbb{N}_1 $, como os dois subconjuntos são infinitos podemos considerar as subsequências $(x_i)_{i\in\mathbb{N}_1}$ e $(x_j)_{j\in\mathbb{N}_2}$. A primeira dessas sequências é constante igual à $b$ e portanto converge para $b$, a segunda satisfaz a hipótese de que nenhum termo se repete infinitas vezes, logo também converge para $b$, como provamos anteriormente. Assim a própria sequência $(x_n)$ irá convergir para $b$ ( e somente para $b$).
Por fim, o caso em que nenhum dos termos de $(x_n)$ se repete já foi visto.- AAndré Caldas @andrecaldas
Você está de parabéns por ter se empenhado em um exercício com o enunciado tão vago! :-)
- AAyrton Teixeira @AyrtonAnjos
Obrigado, professor. :-)
- Em resposta aAyrtonAnjos⬆:JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
@AyrtonAnjos Quando você vai provar que $\overline{B}=X$. Por que $V\cap B=\varnothing$ implica que $B\subset V^c$ ? Não consegui compreender essa parte.
- AAyrton Teixeira @AyrtonAnjos
Pensei da seguinte forma, tome $b\in B$, se $b\notin V^c$, então $b\in V$, ou seja, $b\in B\cap V$, absurdo.
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Entendi, obrigado.
- Em resposta aJoaovitor⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Vale a pena fazer um desenho. :-)
Desenhe dois conjuntos sem interseção. E pinte o complementar de um deles.
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Consegui visualizar professor. Então a conclusão é que $\overline{B}$ intercepta todas as vizinhanças de $\mathscr{V}(x)$ para todo $x\in X$ daí se concluí que $\overline {B}=X$ ?