Espaço das Funções Lipschitzianas
Seja $X$ um conjunto qualquer não-vazio e $d_1, d_2 : X \times X \to [0,+\infty)$ duas métricas em $X$. Para $i=1,2$, defina:
$$
L_i = \{ f : X \to X : f \ \mbox{é Lipschitz com relação à métrica} \ d_i \}
$$
Em outras palavras, $f \in L_i \iff \exists c>0$ tal que:
$$
d_i(f(x),f(y)) \le c \cdot d_i(x,y), \forall x,y \in X
$$
O desafio é estabelecer uma condição suficiente para que $L_1=L_2$, isto é, que toda função lipschitz com relação à métrica $d_1$ seja lipschitz com respeito à métrica $d_2$ e vice-versa.
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Afirmo que é suficiente que existam constantes $r,s>0$ tais que,
\begin{align*}
r\cdot d_1(x,y)\leq d_2(x,y)\leq s\cdot d_{1}(x,y)
\end{align*}
Com efeito, seja $f:X_{d_1}\rightarrow X_{d_1}$ uma função lipschitziana com constante $k>0$, isto é,
\begin{align*}
d_1(f(x),f(y))\leq k\cdot d_(x,y),\forall x,y\in X
\end{align*}
Mostremos que,
\begin{align*}
f:X_{d_2}\rightarrow X_{d_2}
\end{align*}
também é lipschitziana. De fato, para todo $x,y\in X$ temos que,
\begin{align*}
d_2(f(x),f(y))
&\leq s.d_1(f(x),f(y))\\
&\leq(s.k).d_1(x,y)\\
&\leq (s.k).r^{-1}d_2(x,y)
\end{align*}
denotando $k'=s.k.r^{-1}$ vemos que,
\begin{align*}
d_2(f(x),f(y))\leq k'\cdot d_2(x,y),\forall x,y\in X
\end{align*}
portanto $f$ lipschitziana. De maneira análoga prova-se que se $ f:X_{d_2}\rightarrow X_{d_2}$ é lipschitziana então $f:X_{d_1}\rightarrow X_{d_1}$ também será.- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
Exato. Mas qual o nome que damos quando existem tais constantes?
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Em relação as constantes relacionadas as funções é a constante de lipschitz da função $f$. Agora se for em relação as constantes relacionadas as métricas não me recordo de nenhum nome especifico para elas.
- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
Significa dizer que as métricas são equivalentes. Ou seja, a equivalência de métricas preserva a classe das funções lipschitz
- AAndré Caldas @andrecaldas
Implica em. Nem toda métrica equivalente serve.
Mas, provavelmente tem gente que usa o mesmo nome pra coisas diferentes... fortemente equivalente. As definições provavelmente dependem do autor...
- Em resposta arodolfo_edp⬆:JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Entendi mas métricas equivalentes não implicam que as funções lipschitz são preservadas certo ? por isso pensei que você estava falando de uma classe diferente de métricas além das equivalentes.
- AAndré Caldas @andrecaldas
As definições talvez dependam de quem fala. :-)