Por João Marcos de Siqueira da Costa @joaomarcos
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. E seja $F\subset X$ um conjunto fechado. Mostre que se $x_n \in F$ converge para $a$, então $a \in F$.
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
De maneira equivalente, provemos que se $a\not\in F$ então $a$ não é limite de sequência alguma de pontos de $F$. Com efeito, sendo $F=\overline{F}$ existe $V\in\mathcal{V}(a)$ tal que, $F\cap V=\varnothing$. Logo, dada qualquer sequência $x_n\rightarrow a$ tem-se que, $x_n\in V$, eventualmente. Portanto, $x_n\not\in F$.