Por VITORIA CHAVES FERNANDES @VitoriaC
Sejam $X$ e $Y$ espaços topológicos. Mostre que se $f : X \rightarrow Y$ é contínua, então, para $x_{n} \in X$,
$$x_{n} \rightarrow a \Rightarrow f(x_{n}) \rightarrow f(a)$$.
- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
Dado que $x_n \to a$, então para toda $V \in \mathcal{V}(a)$, $x_n \in V$ eventualmente.
Por outro lado, da continuidade de $f$, vale que, para todo $W \in \mathcal{V}(f(a))$,
$$
f^{-1}(W) \in \mathcal{V}(a).
$$
Ou seja, escolhendo $W \in \mathcal{V}(f(a))$ arbitrariamente, $f^{-1}(W)$ é vizinhança de $a$. E portanto, $x_n \in f^{-1}(W)$ eventualmente. Desse modo, $f(x_n) \in W$, eventualmente. Da arbitrariedade de $W$, segue que $f(x_n)\to f(a)$- AAndré Caldas @andrecaldas
Eu mudei um pouquinho só a redação.
Que tal usar a expressão "eventualmente $x_n \in V$"?
- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
ok