Seja $(X,d)$ um espaço métrico. Dado um ponto $a\in X$, considere a família de vizinhanças de $a$,
$$
\mathscr{V}(a) = \{ V\subset X \ \Big| \ \exists\varepsilon > 0, B_{\varepsilon}(a)\subset V \}.
$$ Mostre que $\mathscr{V}(a)$ é um filtro. Ou seja,
- $\mathscr{V}(a) \neq \emptyset$.
- $\emptyset\notin\mathscr{V}(a)$.
- $V,W\in\mathscr{V}(a) \implies V\cap W\in\mathscr{V}(a)$.
- $V\in\mathscr{V}(a), V\subset W \implies W\in\mathscr{V}(a)$.
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Mostremos que $\mathscr{V}(a)$ satisfaz as $4$ propriedades listadas
1. $\mathscr{V}(a)\neq\varnothing$ pois, em particular, considerando $V=B_\varepsilon(a)$ com $\varepsilon>0$ vemos que, $B_{\frac{\varepsilon}{2}}\subset V$ donde $V\in\mathscr{V}(a)$.
2. Como $a\in B_\varepsilon(a)$ para todo $\varepsilon>0$ e $a\not\in\varnothing$ segue-se que $\varnothing\not\in\mathscr{V}(a)$.
3. Sejam $V,W\in\mathscr{V}(a)$ então existem $\varepsilon_1,\varepsilon_2>0$ tais que,
\begin{align*}
&B_{\varepsilon_1}\subset V; \\
&B_{\varepsilon_2}\subset W.
\end{align*}
Logo, tomando $\varepsilon=\min\{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}$ tem-se que $B_\varepsilon\subset V\cap W$ donde $V\cap W\in\mathscr{V}(a)$.
4. É evidente, pois existe $\varepsilon>0$ tal que, $B_\varepsilon\subset V\subset W$ e, consequentemente, $W\in\mathscr{V}(a) $.
Portanto, $\mathscr{V}(a)$ é um filtro.
Caio Tomás de Paula @CaioTomasLegal, João! Fiz de uma maneira parecida mas levemente (bem levemente) diferente, olha só :-)
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Note que $X$ é não vazio (pois $a\in X$) e que $B_{\varepsilon}(a)\subset X, \forall\varepsilon > 0$ pois, por definição, $B_{\varepsilon}(a)$ é um subconjunto de $X$. Portanto, $X\in\mathscr{V}(a)$, ou seja, $\mathscr{V}(a)\neq\emptyset$.
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Suponha que $\emptyset\in\mathscr{V}(a)$. Então existe $\varepsilon > 0$ tal que $B_{\varepsilon}(a)\subset\emptyset$, ou seja, $a\in\emptyset$, absurdo. Logo, $\emptyset\notin\mathscr{V}(a)$.
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Se $V,W\in\mathscr{V}(a)$, então existem $\varepsilon_{1,2}>0$ tais que $B_{\varepsilon_1}(a)\subset V$ e $B_{\varepsilon_2}(a)\subset W$. Tomando $\varepsilon = \min\{\varepsilon_1, \varepsilon_2\}$, temos que $B_{\varepsilon}(a)\subset V$ e também $B_{\varepsilon}(a)\subset W$, ou seja, $B_{\varepsilon}(a)\subset V\cap W$. Logo, $V\cap W\in\mathscr{V}(a)$.
-
Se $V\in\mathscr{V}(a)$, então existe $\varepsilon > 0$ tal que $B_{\varepsilon}(a)\subset V$. Ora, mas $V\subset W$, logo $B_{\varepsilon}(a)\subset W$, ou seja, $W\in\mathscr{V}(a)$.
Logo, $\mathscr{V}(a)$ é um filtro.
- AAndré Caldas @andrecaldas
E o conjunto vazio... $X = \emptyset$... dá uma topologia?
- Caio Tomás de Paula @CaioTomas
Daria uma topologia trivial $(\emptyset, \{ \emptyset \})$, né?
- AAndré Caldas @andrecaldas
Perguntei, porque achei interessante sua observação (necessária) de que $X$ não é vazio. Mas um $X$ vazio também seria uma topologia...
Num espaço métrico, as bolas não são vazias. Não sei se um conjunto vazio pode ser considerado um espaço métrico. Espero que sim. :-)
Mesmo em um espaço métrico vazio... as bolas nunca são vazias!!!
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- Em resposta aJoaovitor⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
$$B_\varepsilon(a) \subset B_\varepsilon(a).$$