Sejam $(X, d)$ e $(Y, m)$ espaços pseudo-métricos, onde $m$ é a métrica discreta em $Y$. Exatamente quando é que funções $f : X \rightarrow Y$ e $g : Y \rightarrow X$ são contínuas?
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Caso $g:Y\rightarrow X$
Dado $a\in Y$ tomando $\delta<1$, $B_{\delta}(a)={a}$ donde $g(B_{\delta}(a))=g(a)$. Logo, dado $\epsilon>0$ basta tomar $\delta<1$ e teremos $g$ contínua sempre.
Caso $f:X\rightarrow Y$
Tomando $a\in X$ e $0<\epsilon<1$ vemos que, $B_{\epsilon}(f(a))={f(a)}$. Porém, sendo $d$ uma pseudo-métrica pode ocorrer $d(a,x)=0$ com $x\neq a $ neste caso, $x\in B_{\delta}(a)$ para todo $\delta>0$, logo se $f(B_{\delta})\subset B_{\epsilon}(f(a))$ então $f(x)=f(a)$ para todo $x\in X$ tal que, $d(x,a)=0$. Ou seja, uma condição necessária para que $f$ seja contínua é que a imagem dos pontos que distam $0$ de $a$ sejam iguais a $f(a)$.
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- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Não é $g$ mesmo, no segundo caso que a notação estava trocada. Arrumei