Mostre que
\begin{align*}
f: \mathbb{R} &\longrightarrow \mathbb{R}
\\
x &\mapsto \begin{cases}
x \sin \left( \frac{1}{x} \right), &x \neq 0
\\
0, &x = 0
\end{cases}
\end{align*}
é contínua em $0$.
- VVITORIA CHAVES FERNANDES @VitoriaC
Por definição dizemos que $f: X \rightarrow Y$ é contínua em $a \in X$ quando:
$a_{n} \rightarrow a \Rightarrow f(a_{n}) \rightarrow f(a)$.
Vamos provar que $ f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ é contínua em $0 \in \mathbb{R}:$
Tome uma bola $B$ centrada em $f(0)$. Daí, existe uma bola $B_{0}$ centrada em $0$ de modo que:
$f(B_{0}) \subset B$.
Note que $x_{n} \in B_{0}$, pois para toda bola $B_{\epsilon}(x)$ centrada em $x$, existi $n \in \mathbf{N}$ tal que $n \geq N \Rightarrow x_{n} \in B_{\epsilon}(x)$.
Ou seja, $f(x_{n}) \in f(B_{0}) \subset B$ .
Portenato $f(x_{n}) \rightarrow f(0)$.- GGeorge Kiametis @georgekiametis
Oi @VitoriaC , como você garante a existência dessa bola $B_0$? Outra coisa, acho que você quis pegar uma sequência $(x_n)$ convergindo para $0$, não é?
.- VVITORIA CHAVES FERNANDES @VitoriaC
Oi @georgekiametis . Sim, a minha ideia era considerar uma sequência $x_{n}$ convergindo para $0$. Daí, $x_{n} \in B_{\epsilon}(0)$
E para garantir a existência da bola $B_{0}$, tentei utilizar o fato que para toda bola $B_{f(a)} = B_{\epsilon}(f(a))$ centrada em $f(a)$ existirá uma bola $B_{a}= B_{\delta} (a)$ centrada em $a$.Acho que a minha solução não ficou tão boa, mas foi isso que fiz nas minhas anotações.
Você teve alguma ideia diferente para resolver essa questão?
- AAndré Caldas @andrecaldas
Está bom. Com vizinhanças (e bolas), da pra falar de continuidade usando $f$ e usando $f^{-1}$.
$$
\forall \varepsilon > 0,\, \exists \delta > 0 \text{ tal que } f(B_\delta(a)) \subset B_\varepsilon(f(a)).
$$Com bolas:
$$
\forall E \in \mathcal{B}(f(a)),\, \exists D \in \mathcal{B}(a) \text{ tal que } f(D) \subset E.
$$Com vizinhanças:
$$
\forall E \in \mathcal{V}(f(a)),\, \exists D \in \mathcal{V}(a) \text{ tal que } f(D) \subset E.
$$ - Em resposta aVitoriaC⬆:GGeorge Kiametis @georgekiametis
Eu tinha pensado em usar que, como $x_n \rightarrow 0$ e $\sin \left( \frac{1}{x_n} \right) \leq 1, \forall n \in \mathbb{N}$, então $\lim_{x \rightarrow 0} x_n \sin \left( \frac{1}{x_n} \right) = 0 = f(0)$, mas não consegui provar a continuidade usando bolas, por isso quis saber como você garantiu a existência de $B_0$. Ainda está confuso para mim como você garantiu a existência do $B_0$, porque parece que você está usando o que você quer provar para provar o que você quer provar (a existência desse $B_0$ é equivalente a continuidade de $f$ em $x = 0$, veja a proposição $2.10$ das notas de aula do professor). Não consegui ver como você usou a definição da $f$ para garantir a existência desse $B_0$. Você pode mostrar com mais detalhes essa parte da sua demonstração?
- AAndré Caldas @andrecaldas
Ah... é verdade! Pensei que a questão era outra...
Parece que foi usada a continuidade pra mostrar que é contínua. Eu acho...
- Em resposta ageorgekiametis⬆:VVITORIA CHAVES FERNANDES @VitoriaC
Acho melhor provar de outra maneira, pois não consegui concluir aquela outra ideia. Veja no que pensei utilizar:
Dado $\epsilon >0$, tome $\delta= min \{ 1, \frac{\delta}{2}\}$
Provemos que, dado $ x \in B(0, \delta) \Rightarrow f(x) \in B(f(0),\epsilon)$
Dado $ x \in B(0, \delta)$, temos:
$$
\begin{align*}
| f(x)-f(0) | &= | f(x) |
\\
&\leq | x sen(\frac{1}{x}) |
\\
&\leq | x | | x sen(\frac{1}{x}) |
\\
&\leq | x |
\\
&\leq \delta
\\
&\leq \frac{\epsilon}{2}
\\
&\leq \epsilon
\end{align*}
$$
Logo, $f(x) \in B(f(0),\epsilon)$.Acredito que do jeito que você provou seja mais fácil.
- GGeorge Kiametis @georgekiametis
Só uma coisa, acho que você quis colocar $\delta := \min \{ 1, \frac{\varepsilon}{2} \}$, não é?
- VVITORIA CHAVES FERNANDES @VitoriaC
Sim, foi erro de digitação! Obrigada pela correção.
- Em resposta ageorgekiametis⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Acho que com bolas, você pode verificar que $f(B_\varepsilon(0)) \subset B_\varepsilon(0)$.