Lista 1/02 - Exercício 8

Observe que os únicos abertos em $Y$ gerados pela pseudo métrica $m = 0$ são $\emptyset$ e $Y$, pois, dados $y \in Y$ e $\varepsilon > 0$, as bolas $B(y,\varepsilon) = Y$ geram a topologia de $(Y,m)$. Como a imagem de $f$ está contida em $Y$, $f^{-1}(Y) = X$, que é um aberto na topologia de $(X,d)$, logo $f$ é contínua.

Denote $\tau_X$ pela topologia de $(X,d)$, $\tau_Y$ pela topologia de $(Y,m)$ e $\text{Im} \ g$ pela imagem de $g$. Para provar a continuidade de $g$, provaremos a seguinte afirmação:

$$\textbf{Afirmação.} \ g: Y \rightarrow X \ \text{é contínua} \iff \forall A \in \tau_X, A \cap \ \text{Im} \ g \neq \emptyset \Longrightarrow \ \text{Im} \ g \subset A.$$

$(\Longrightarrow)$

Seja $A \in \tau_X$ com $A \cap \text{Im} \ g \neq \emptyset$. Se $g: Y \rightarrow X$ é contínua, então $g^{-1}(A) \in \tau_Y$. Como os únicos abertos em $Y$ gerados pela pseudo métrica $m = 0$ são $\emptyset$ e $Y$, $g^{-1}(A) = Y$, logo $\text{Im} \ g \subset A$.

$(\Longleftarrow)$

Seja $A \in \tau_X$. Se $A \cap \text{Im} \ g = \emptyset$, então $g^{-1}(A) = \emptyset \in \tau_Y$. Se $A \cap \text{Im} \ g \neq \emptyset$, então $\text{Im} \ g \subset A$ por hipótese. Assim, $g^{-1}(A) = Y \in \tau_Y$, portanto $g: Y \rightarrow X$ é contínua.