Sejam $X$ e $Y$ espaços topológicos. Suponha que cada ponto $x\in X$ é tal que $\mathscr{V}(x)$ tem uma base enumerável
$$
\mathscr{B}_x = \{ B_1(x), B_2(x), \dots \}.
$$ Nesse caso, se $f$ é sequencialmente contínua, ou seja,
$$
x_n\to a \implies f(x_n)\to f(a),
$$ então podemos concluir que $f$ é contínua.
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- AAyrton Teixeira @AyrtonAnjos
Eu pensei o seguinte. A partir dessa base $\mathscr{B}_x$ podemos construir a família
$$D_x=\{D_n \mid D_n=\bigcap_{i=1}^{n}B_i(x),\ n\geqslant 1\}$$
Note que cada elemento de $D_x$ ainda é uma vizinhança de $x$, além disso, se $V\in\mathscr{V}(x)$ então, como $\mathscr{B}$ é uma base, existe $B_i(x)$ tal que $D_i\subseteq B_i(x)\subseteq V$. Logo $D_x$ é uma base para $x$, além disso, $$D_1\supseteq D_2\supseteq \cdots$$.
Essa propriedade nos garante que, dado uma sequência $(x_n)$ tal que $x_n\in D_n$ para todo $n$, essa sequência converge para $x$, pois como $D_x$ é base, dado $V\in\mathscr{V}(x)$ existe $D_i$ com $D_i \subseteq V$, por conta dessa propriedade, $x_n\in V$ para todo $n\geqslant i$.
Agora suponha, por absurdo, que $f$ não é contínua no ponto $a\in X$, ou seja, existe $V\in\mathscr{V}(f(a))$ tal que $f^{-1}(V)$ não é vizinhança de $a$, equivalentemente, $V$ não contém nenhum conjunto da base $D_a$. Podemos então, para cada $n$ tomar $x_n\in D_n$ com $x_n\notin f^{-1}(V)$. Como vimos acima, essa sequência converge para $a$, da hipótese segue que $(f(x_n))$ converge para $f(a)$, absurdo, pois como $V\in\mathscr{V}(f(a))$ existiria $m$ tal que $f(x_{m})\in V$, ou seja, $x_m\in f^{-1}(V)$.