Lista 1/02 - Exercício 1 - (Exercício 2.3.1 do livro)

Obs.: A solução deste exercício está na proposição 3.6. das notas de aula, mas apresento aqui em detalhes também.

($\Rightarrow$)

Tomemos uma vizinhança $V \in \mathcal{V}(x)$, então existe uma bola
$$B = B_{\epsilon}(f(x)),$$
tal que $B \subset V$. Como a bola é o conjunto "menor",
$$f^{-1}(B) \subset f^{-1}(V).$$
Do outro lado, a continuidade da função no ponto x implica que $f^{-1}(B) \in \mathcal{V}(x)$ Agora, se o conjunto menor está na vizinhança de x, o conjunto maior ($f^{-1}(V)$) também vai estar.
$$f^{-1}(V) \subset \mathcal{V}(x)$$
que é o resultado que queríamos.

($\Leftarrow$)

Partindo da relação $f^{-1}(\mathcal{V}(f(x))) \subset \mathcal{V}(x)$, para toda bola
$$B = B_{\epsilon}(f(x)),$$
foi visto na seção anterior que tomando uma $V \in \mathcal{V}(x)$, temos que
$$ f^{-1}(B) \subset f^{-1}(V) \in \mathcal{V}(x),$$
o que resulta em $f^{-1}(B) \in \mathcal{V}(x)$. Ou seja, o conjunto $(f^{-1}(B))$ contem uma bola centrada no ponto x.
$$B' \subset f^{-1}(B) \in \mathcal{V}(x)$$
com isso, concluimos que a função é contínua no ponto x em questão.

Seja $X$ um espaço métrico. Queremos mostrar que uma aplicação $$f: (X,d_X) \rightarrow (Y, d_Y) \quad \text{ é contínua em } x \in X \quad \Longleftrightarrow \quad f^{-1}(\mathcal{V}(f(x))) \subset \mathcal{V}(x),$$ com $f^{-1}(\mathcal{V}(f(x))) = \{ f^{-1} (V) : \mathcal{V}(f(x)) \}$.

OBS: Dado $x \in X$, dizemos que $V \subset X$ é uma vizinhança de $x$ quando existir uma bola $B_{\epsilon}(x)$, tal que $B_{\epsilon}(x) \subset V$.

($\Rightarrow$) Suponha que a aplicação $f: (X,d_X) \rightarrow (Y, d_Y)$ é contínua em $x \in X$ . Considere $$V \in \mathcal{V}(f(x)).$$

Assim, existe uma bola $B_1$ centrada em $f(x)$, tal que $B_1 \subset V$. Como, por hipótese, a aplicação é contínua, pela proposição 2.10 ( item 3) das notas de aula (enunciada no final da resolução), para toda bola $B_1$ centrada em $f(x)$, $f^{-1}(B_1)$ contém alguma bola, digamos $B_2$, centrada em $x$, isto é,
\begin{equation}
B_2 \subset f^{-1}(B_1) \qquad \qquad (1)
\end{equation}

Observe que $ B_1 \subset V$, então $f^{-1}(B_1) \subset f^{-1}(V)$. Dessa forma, por (1), obtemos $B_2 \subset f^{-1}(V)$. Logo, pela definição de imagem inversa, $$f^{-1}(V) \in \mathcal{V}(x).$$

Portanto, $f^{-1}(\mathcal{V}(f(x))) \subset \mathcal{V}(x)$.

($\Leftarrow$) Suponha $f^{-1}(\mathcal{V}(f(x))) \subset \mathcal{V}(x)$. Em particular, para toda bola B centrada em $f(x)$, temos $$f^{ -1}(B) \in \mathcal{V}(x),$$ pois se $B \in \mathcal{V}(f(x))$, então $$f^{-1}(B) \in f^{-1}(\mathcal{V}(f(x)) \subset \mathcal{V}(x) \Longrightarrow f^{-1}(B) \in \mathcal{V}(x ) $$

Assim, $f^{-1}(B) $ contém uma bola centrada em $x$ para toda bola $B$ centrada em $f(x)$ . Novamente, pela proposição 2.10 das notas de aula, isso implica que $f$ é contínua em $x$.

Proposição 2.10 : Sejam $X$ e $Y$ espaços métricos. Então as seguintes afirmações são equivalentes :

1- A função $f: X \rightarrow Y$ é contínua em $x \in X$.

2- Para toda bola $B_{f(x)} = B_{\epsilon}(f(x)) $ centrada em $f(x)$, existe uma bola $B_x= B_{\delta}(x)$ centrada em $x$, tal que $$f(B_x) \subset B_{f(x)}$$

3- Para toda bola $B = B_{\epsilon} (f(x)) $ centrada em $f(x)$, $f^{-1} (B)$ contém alguma bola centrada em $x$.