Lista 1/01- Exercício 1 - ( Exercício 1.3.1 do livro texto)
Olá, para verificar a terceira propriedade desse exercício( desigualdade triangular), me deparei com a seguinte situação:
$$max\lbrace d_A(a_1,a_3), d_B(b_1,b_3)\rbrace \leq max\lbrace d_A(a_1,a_2), d_B(b_1,b_2)\rbrace + max\lbrace d_A(a_2,a_3), d_B(b_2,b_3)\rbrace$$
e pensei em fazer por dois casos, o primeiro em que
$$max\lbrace d_A(a_1,a_3), d_B(b_1,b_3)\rbrace = d_A(a_1,a_3) $$
e o segundo em que
$$max\lbrace d_A(a_1,a_3), d_B(b_1,b_3)\rbrace = d_B(b_1,b_3) .$$
A minha dúvida seria se ao considerar o primeiro caso,
$$max\lbrace d_A(a_1,a_2), d_B(b_1,b_2)\rbrace + max\lbrace d_A(a_2,a_3), d_B(b_2,b_3)\rbrace = d_A(a_1,a_2) + d_A(a_2,a_3)$$
visto que vale para qualquer $a_1, a_2 , a_3 \in A $ e no segundo caso seria $d_B(b_1,b_2) + d_B(b_2,b_3)$?
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Mostre que,
\begin{align*}
d_A(a_1,a_3)\leq \max\{d_A(a_1,a_2),d_B(b_1,b_2)\} +\max\{d_A(a_2,a_3),d_B(b_2,b_3)\}
\end{align*}
usando a desigualdade triangular de $d_A$. Idem para métrica $d_B$. Acredito que dê para fazer da forma que você disse só vai dar mais trabalho. Mas quando você usa a desigualdade triangular e toma o máximo você não precisa se preocupar em quem o máximo vai assumir.