Lista 1/02 - Exercício 5
Sejam $(X,d)$ e $(Y,m)$ espaços pseudo-métricos. Seja $a\in Y$ um elemento fixado de $Y$. Exatamente quando é que a função constante
$$
\begin{align*}
f : X & \rightarrow Y
\\
x & \mapsto a
\end{align*}
$$
é contínua?
- MComment deleted
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Acho que você se confundiu Marcio.
Uma pseudo-métrica sobre um conjunto $M$ é uma função
\begin{align*}
d:M\times M &\rightarrow \mathbb{R}\\ (x,y) &\mapsto d(x,y)
\end{align*}
satisfazendo as seguintes condições:
1. $d(x,x)=0$
2. $d(x,y)\geq 0$
3. $d(x,y)=d(y,x)$
4. $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y))$
Ou seja, em uma pseudo-métrica pode ocorrer $d(x,y)=0$ sem que seja $x\neq y$. O exemplo mais trivial de pseudo-métrica é a chamada Pseudo-métrica Caótica onde $d(x,y)=0$ para todo $x,y\in X$
Assim, observe que o fato de $d(x,y)=0$ com $x\neq y$ não interfere na continuidade de $f$ pois, tomando $\delta>0$\begin{align*}
d(x,a)<\delta \Rightarrow d(f(x),f(a))=d(a,a)=0<\varepsilon
\end{align*}Para qualquer que sejam os $x,y\in X$ e $\varepsilon>0$. Ou seja, mesmo em espaços pseudo-métricos as funções constantes são contínuas
- MMarcio Henrique @marciodoblackpink
Obrigado João, vou reformular :)
- Em resposta aJoaovitor⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Acho que chama caótica, porque todas as sequências convergem para todos os pontos.
- Em resposta aJoaovitor⬆:MMarcio Henrique @marciodoblackpink
É verdade, no caso da pseudo-métrica o fato de $d(x,y)=0$ em que $x$ pode ser diferente de $y$ não influencia na continuidade de $f$. O item que influencia seria o $d(x,x) =0$, item que confundi, mas este é sempre satisfeito. :)