Lista 2/ 03
Mostre que
$$
\begin{align*}
f: \mathbb{R} &\rightarrow \mathbb{R}
\\
x& \mapsto \begin{cases}
sen(\frac{1}{x}),& se\ x \neq 0 \\
0 ,& se \ x=0
\end{cases}
\end{align*} \\
$$
é descontínua em 0
- MMatheus de Freitas Souza @Matheus
Vamos usar a seguinte definição de descontinuidade, $f$ é descontínua em $a$ se existe $V \in \mathcal{V}(f(a))$ tal que, para todo $W \in \mathcal{V}(a)$, $f(W) \not \subseteq V$.
Seja $\varepsilon \in (0,1)$ qualquer e defina $V = B_{\varepsilon}(f(0)) = B_{\varepsilon}(0)$ e tome $\delta > 0$ qualquer, vamos considerar as bolas $B_{\delta}(0)$. Podemos escolher um $n$ natural ímpar tal que
$$0 < \delta\left(\frac{2}{\pi \delta n}\right) = x_0 < \delta,$$
com $\frac{2}{\pi} < 1$ e escolhemos um $n$ adequado tal que $n\delta > 1$.Portanto,
$$ |f(x_0)| = |\sin\left(\frac{n \pi}{2}\right)| = 1 > \varepsilon$$
De modo que $x_0 \in B_{\delta}(0) $ e $f(x_0) \not \in V$. Segue que $f$ é descontínua em $0$.
Caio Tomás de Paula @CaioTomasAo invés de $f(n\pi/2)$ não deveria ser $\sin(n\pi/2)$?
- MMatheus de Freitas Souza @Matheus
Fica melhor mesmo, editei. Mas, como $x_0 > 0$, dá na mesma.
- Em resposta aMatheus⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Dá pra fazer com sequências?
- MMatheus de Freitas Souza @Matheus
Dá sim! Basta tomar a sequência $x_n = \frac{2}{\pi n}$ que converge para $0$. Observe que $f(x_n)$ tem uma subsequência (dos $n$ ímpares) tal que $f(x_n) = 1$. Logo, concluímos que $f(x_n)$ não converge para $f(0) = 0$.
- AAndré Caldas @andrecaldas
E como continuidade em um ponto implica em continuidade sequencial nesse mesmo ponto, $f$ não pode ser contínua no $0$.