Lista 1/04 - Exercício 4

Seja $\{x_n\}_{1}^{\infty} \subset F$ uma sequência que converge para $x \in X$. Dada $V \in \mathcal{V}(x)$, eventualmente $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ entra em tal conjunto, o que nos dá $V \cap F \neq \emptyset,$ ou seja, $x \in \overline{F}$. Reciprocamente, seja $x \in \overline{F}$. Por hipótese, existe uma base de vizinhanças de $x$ enumerável, a qual denotamos por $B_x$. Note que $B_n(x) \cap B_m(x) \neq \emptyset$, para todo $m, n \in \mathbb{N}$ com $n \neq m$, afinal, $x$ está em todos os conjuntos em $B_x$. Para cada $n \in \mathbb{N}$ defina $E_n = \bigcap_{k=1}^{n} B_{k}(x)$ e note que $\{E_n\}_{n =1}^{\infty}$ forma uma sequência decrescente, isto é, $E_{n+1} \subset E_n$, para todo $n \in \mathbb{N}$. Uma vez que interseção finita de vizinhanças é também uma vizinhança, segue que $E_n$ é vizinhança de $x$. Logo, como $x \in \overline{F}$, podemos escolher $x_n \in E_n \cap F \neq \emptyset$. Mostremos agora que $x_n \rightarrow x$. Dada $V \in \mathcal{V}(x)$, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $B_{n_0}(x) \subset V$. Como a sequência dos conjuntos $E_n's$ é decrescente, segue que $x_n \in E_{n_{0}} \subset V$, para todo $n \geq n_0$. Isso nos dá a almejada convergência. Segue da hipótese que $x \in F$ e concluímos que $F \subset \overline{F}$. Lembre que sempre vale $F \subset \overline{F}$. Portanto $F$ é fechado.

Com relação ao exemplo de uma espaço que é sequencialmente fechado mas não é fechado, não consegui. Todavia consegui encontrar um exemplo de um espaço cujos pontos no fecho de subconjuntos não pode ser o limite de nenhum sequência. Segue o exemplo:

Seja $(\mathbb{R}, \tau_{c.e.})$, onde
$$\tau_{c.e.} = \{A \subset \mathbb{R} : \mathbb{R}\backslash A\text{ é enumerável} \} \cup \{\emptyset \},$$
é a chamada topologia do complemento enumerável. É importanto notar que os abertos são da forma: $U = \mathbb{R} \backslash \{b_n : n \in \mathbb{N}\}$. Observe que $2 \in \overline{[0,1]}$, pois, dada qualquer vizinhança $U$ de $2$ vale $V \cap [0,1] \neq \emptyset$, do contrário, o intervalo $[0,1]$ estaria contido em $\mathbb{R}\backslash V$, o que não pode acontecer, haja vista que o mesmo deve ser enumerável. Por fim, nenhuma sequência pode convergir para $2$. De fato, seja $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ uma sequência que converge para $2$. Sem perda de generalidade, suponha que o número $2$ não está entre os termos de tal sequência. Logo, o conjunto $W = \mathbb{R} \backslash \{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ é uma vizinhança de $2$, porém, $x_n \not\in W$, para todo $n \in \mathbb{N}$.