Considere a topologia usual em $\mathbb{R}$. Mostre que
$$
\mathscr{B} = \left\{ \left[ \sqrt{2} - \frac{4}{n^2+1}, \sqrt{2} + \frac{1}{n} \right] \ \Bigg | \ n\in\mathbb{N}^* \right\}
$$ é uma base de vizinhanças para o ponto $\sqrt{2}$.
- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
Seja $V \in \mathcal{V}(\sqrt{2})$. Então, existe $\delta >0$ tal que $B_\delta(\sqrt{2})=(\sqrt{2}-\delta,\sqrt{2}+\delta) \subset V$. Considere as sequências $\{x_n\},\{y_n\} \subset \mathbb{R}$ definidas por:
$$
x_n=\sqrt{2} + \dfrac{1}{n} \quad \mbox{e} \quad y_n= \sqrt{2} - \dfrac{4}{n^2+1}
$$
Claramente, $x_n \to \sqrt{2}$ e $y_n \to \sqrt{2}$. Em outras palavras, existem $n_1,n_2 \in \mathbb{N}$ tais que:a) Se $n\ge n_1$, então $x_n = \sqrt{2} + \dfrac{1}{n} \in (\sqrt{2}-\delta,\sqrt{2}+\delta) \subset V$
b) Se $n\ge n_2$, então $y_n = \sqrt{2} - \dfrac{4}{n^2+1} \in (\sqrt{2}-\delta,\sqrt{2}+\delta) \subset V$Em particular:
a) Se $n\ge n_1$, então $\bigg[\sqrt{2}, \sqrt{2} + \dfrac{1}{n}\bigg] \subset (\sqrt{2}-\delta,\sqrt{2}+\delta) \subset V$
b) Se $n\ge n_2$, então $\bigg[\sqrt{2} - \dfrac{4}{n^2+1}, \sqrt{2} \bigg] \subset (\sqrt{2}-\delta,\sqrt{2}+\delta) \subset V$.Tomando $n_0 = \max\{n_1,n_2\}$, segue que:
$$
A_{n_0}(\sqrt{2}) := \bigg(\sqrt{2} - \dfrac{4}{n_0^2+1},\sqrt{2} + \dfrac{1}{n_0}\bigg) \subset (\sqrt{2}-\delta,\sqrt{2}+\delta) \subset V
$$
Donde segue que para todo $V \in \mathcal{V}(\sqrt{2})$, existe $A \in \mathcal{B}$ tal que $A \subset V$ e portanto $\mathcal{B}$ é base de vizinhanças para $\sqrt{2}$.- AAndré Caldas @andrecaldas
O que você mostrou foi:
Se $\varepsilon_n$ e $\delta_n$ convergem para $0$, então os conjuntos da forma $(a - \varepsilon_n, a + \delta_n)$ formam uma base de vizinhanças de $a$.
Certo?
PS: não tô pedindo pra mudar nada, não. :-)
- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
Exatamente, o exercício é apenas um exemplo desse resultado mais geral.