Lista 1/04 - Exercício 7

Obs.: acho que o enunciado deveria ser com $D_1 \supset D_2 \supset\cdots D_n \supset\cdots$ ao invés de $B_1 \supset B_2 \supset \cdots B_n \supset\cdots$, certo?

Vou repetir aqui o argumento do @AyrtonAnjos deste post (Lista 1/03 - Exercício 6 #post-2): dada a base $\mathscr{B}$, construímos
$$
\mathscr{D} = \left\{ D_n \ \Bigg| \ D_n = \bigcap_{i=1}^n B_i \right\}
$$ Note que cada elemento de $\mathscr{D}$ ainda é uma vizinhança de $x$, por ser interseção de vizinhanças de $x$. Além disso, se $V$ é vizinhança de $x$ então, como $\mathscr{B}$ é uma base de vizinhanças de $x$, existe $B_i$ tal que $B_i\subset V$ e, por construção de $\mathscr{D}$, temos também $D_i\subset B_i$, ou seja, $D_i\subset V$. Logo, $\mathscr{D}$ é uma base de vizinhanças de $x$ e, por construção,
$$
D_1 \supset D_2 \supset\cdots D_n \supset\cdots.
$$ como queríamos.