Seja $X$ um conjunto não enumerável, considere a topologia discreta $\tau$ e a topologia co-enumerável $\gamma$. Mostre que a identidade
\begin{align*}
f: (X,\gamma) &\rightarrow (X,\tau)
\\
x &\mapsto x
\end{align*}
não é contínua, mas é sequencialmente contínua.
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
De fato, se $f$ fosse contínua tomando em particular $\{ x \}\in\tau$ deve existir um aberto $V\in\gamma$ tal que, $f(V)\subset \{ x \}$. Ora, mas $f$ é aplicação identidade então isso só é possível se $V=\{x\}$ mas nesse caso $V^c=X-\{ x \}$ é não enumerável o que é um absurdo, pois tomamos $V\in\gamma$. Portanto $f$ não é contínua. Por fim, mostremos que $f$ é sequencialmente contínua. De fato, as sequências que convergem em $(X,\gamma)$ são constantes (vide Lista 1/03 - Exercício 1.2 ), logo se $x_n\in X$ então $x_n=x$, eventualmente. Assim, para qualquer que seja $\{ x\}\subset V\in\tau$ temos que, $f(x_n)=x\in V$, eventualmente. Portanto, $f$ é sequencialmente contínua.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Isso é um absurdo!
Os conjuntos unitários estão em $\tau$. No entanto, $f^{-1}(\{x\}) = \{x\}$ não tem complemento enumerável, e portanto não está em $\gamma$. Portanto, $f$ não é contínua.