Lista 2/03 - Exercício 2
Em um espaço topológico, um conjunto pode ser aberto e fechado ao mesmo tempo.
Neste caso, alguns gostam de dizer que o conjunto é clopen.
Em $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$, mostre que $[a,b) \cap \mathbb{Q}$ é clopen em $\mathbb{Q}$ se, e somente se, $a,b \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$.
- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
$(\Rightarrow)$ Suponha que $A=[a,b)\cap \mathbb{Q}$ é clopen. Como $A$ é fechado em $\mathbb{Q}$, que está munido da topologia induzida de $\mathbb{R}$, então pelo Exercício 7 (Lista 2/03 - Exercício 7), segue que:
$$
A = \mathrm{cl}_X(A) \cap \mathbb{Q} = [a,b] \cap \mathbb{Q}
$$
Assim,
$$
[a,b) \cap \mathbb{Q} = [a,b] \cap \mathbb{Q} \implies b \notin \mathbb{Q}
$$
Por outro lado, $A$ é aberto em $\mathbb{Q}$, logo por um resultado análogo ao Exercício 7:
$$
A= \mathrm{int}_X(\bar{A}) \cap \mathbb{Q} = (a,b) \cap \mathbb{Q}
$$
Assim:
$$
[a,b) \cap \mathbb{Q} = (a,b) \cap \mathbb{Q} \implies a \notin \mathbb{Q}
$$
Assim, $a,b \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$.
$(\Leftarrow)$ Suponha que $a,b \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, então:
$$
(a,b) \cap \mathbb{Q} = [a,b) \cap \mathbb{Q} = [a,b] \cap \mathbb{Q}
$$
O que é equivalente a dizer que:
$$
\mathrm{int}_X(\bar{A}) \cap \mathbb{Q} = A = \mathrm{cl}_X(A) \cap \mathbb{Q}
$$
Portanto $A$ é aberto e fechado em $\mathbb{Q}$ e segue o resultado.- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
@rodolfo_edp Me tira um a dúvida por favor. Na linha 7 onde você considerou $int_X(\overline{A})$ eu não poderia considerar só $int_X(A)$ e argumentar do mesmo modo?
- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
Repare que o interior de $A$ em $X$ é vazio (por que?). Os abertos na topologia induzida são intercessão de abertos do espaço maior com o subconjunto. Esse aberto é precisamente o interior do fecho!
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
o interior de $A$ em $\mathbb{R}$ não é $(a,b)$ ? Então nesse caso $int(A)$ em $\mathbb{Q}$ é $(a,b)\cap\mathbb{Q}$ que por acaso coincide como $[a,b)\cap\mathbb{Q}$ pois, $a\not\in\mathbb{Q}$
- AAndré Caldas @andrecaldas
O interior de $\mathbb{Q}$ em $\mathbb{R}$ é vazio. Porque qualquer aberto precisa conter irracionais (que também são densos).
- Em resposta aJoaovitor⬆:RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
Como o professor comentou, o interior de $A$ em $\mathbb{R}$ é vazio, pois $A$ não pode conter nenhum intervalo aberto por ser um subconjunto de $\mathbb{Q}$. Agora observe que o interioir de $A$ em $\mathbb{Q}$ é ele próprio!
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Eu me confundi aqui, o que eu queria dizer na verdade é que $int_\mathbb{R}[a,b)=(a,b)$ e portanto $int_\mathbb{Q}(a,b)=(a,b)\cap\mathbb{Q}=[a,b)\cap\mathbb{Q}$. Poderia ser feito dessa forma também ?
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Não era com o $A$ que eu queria fazer a comparação acabei trocando as coisas.
- Em resposta aJoaovitor⬆:RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
Cuidado com essa igualdade: $(a,b)\cap \mathbb{Q} =[a,b)$. Ela não é válida.
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
Corrigi, da uma olhada
- Em resposta arodolfo_edp⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Acho que só quando é denso. O conjunto unitário $\{0\} \subset \mathbb{R}$... na topologia induzida, o interior dele é ele mesmo. E ele é fechado em $\mathbb{R}$.
- Em resposta arodolfo_edp⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Em geral, acho que não dá. Mas talvez, se você pegar o interior de $A \cup (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q})$... aí sim.
- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
O que eu queria perguntar na verdade é o seguinte:
Se $(X,\tau)$ é espaço topológico e $(Y,\tau_Y)$ é um subespaço de $(X,\tau)$ então $int_Y(A)=int_X(A)\cap Y$.
Ai no caso do exercício ficaria:
\begin{align*}
int_\mathbb{Q}[a,b)=(a,b)\cap\mathbb{Q}=[a,b)\cap\mathbb{Q}
\end{align*}
já que $a\not\in\mathbb{Q}$- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
Em geral não! Para este conjunto $A=[a,b) \cap \mathbb{Q}$ a operação $\mathrm{int}_X(A) \cap Y$ resulta no vazio. O que acontece é que existe um aberto $O \in \tau_X$ onde:
$$
\mathrm{int}_Y(A) = O \cap Y
$$
Esse aberto é $O= \mathrm{int}_X(\overline{A})$- JJoão Vitor Barbosa e Oliveira @Joaovitor
ok, obrigado pela paciência kkk
- RRodolfo Ferreira de Oliveira @rodolfo_edp
Nada, desculpe se havia ficado confuso!