[Lista 2/03 - Exercício 12] Teorema de Hahn-Banach para mostrar o Teorema de Mazur

Seja $(E,||.||)$ um espaço vetorial normado de dimensão infinita. Dizemos que $E$ é um espaço de Banach quando toda sequência de Cauchy em $E$ é convergente. Em $E$ está definida a topologia da norma, porém ela apresenta bastante limitações quando se está em dimensão infinita, pois neste caso a bola fechada não é compacta e portanto não se tem mais o clássico resultado de Bolzano-Weierstrass onde toda sequência limitada possui uma subsequência convergente.
Para tentar se contornar isso, buscamos definir uma topologia mais fraca em $E$ onde talvez possamos recuperar ao menos uma versão mais fraca desse resultado. Primeiramente, definimos:
$$
E' = \{f : \mathbb{E} \to \mathbb{R}: f \ \mbox{é linear e contínua}\}
$$
o dual topológico de $E$. Definimos assim, a topologia fraca de $E$, como a topologia inicial:
$$
\sigma(E,E') := \tau_{\mathcal{F}}
$$
onde $\mathcal{F} = E'$. Essa topologia é mais fraca que a topologia usual de $E$ e é interessante mostrar que elas coincidem no caso de $E$ possuir dimensão finita.
A inclusão $\sigma(E,E') \subset \tau_E$ é dada pelo fato dela ser gerada pelas topologias $f^{-1}(\tau_{\mathbb{R}})$, $f\in E'$, que são abertos naturalmente em $E$. Por outro lado a inclusão é estrita no caso de dimensão infinita porque a bola aberta de $E$ não é aberta na topologia fraca. (cf. Lista 2/03 - Exercício 10).
Assim, segue que todo aberto fraco é um aberto forte e por raciocínio complementar, todo fechado fraco é um fechado forte. Neste exercício provaremos o famoso e importantíssimo resultado devido a Mazur:

Teorema (Mazur): Seja $C \subset E$ convexo. Então $C$ é fechado forte se, e somente se, $C$ é fechado fraco.

Para esta demonstração precisaremos do famoso Teorema de Hanh-Banach, mais especificamente a sua 2ª forma geométrica. Antes de falarmos dela, porém, precisaremos de duas definições:

Definição (Hiperplano): Seja $E$ um espaço de Banach, $f\in E'$ e $\alpha \in \mathbb{R}$. Chamamos de hiperplano afim $[f=\alpha]$ o conjunto:
$$
\{x \in E: f(x)=\alpha\} = f^{-1}(\alpha)
$$

Definição: Seja $E$ um espaço de Banach, $A,B\subset E$, $f \in E'$ e $\alpha \in \mathbb{R}$. Dizemos que o hiperplano afim $[f=\alpha]$ separa estritamente $A$ e $B$ se existe $\epsilon>0$ tal que:
i) $f(x) \ge \alpha +\epsilon, \quad \forall x \in A$
ii) $f(x) \le \alpha -\epsilon, \quad \forall x \in B$

Teorema (2ª Forma Geométrica do Teorema de Hahn-Banach): Seja $E$ um espaço de Banach e $A,B \subset E$ tais que:
i) $A \neq \emptyset$ e $B \neq \emptyset$
ii) $A\cap B = \emptyset$
iii) $A$ e $B$ são convexos
iv) $A$ é fechado e $B$ é compacto.

Então existe um hiperplano afim $[f=\alpha]$ que separa estritamente $A$ e $B$.

Demonstração do Teorema de Mazur: Suponha que $C$ seja fechado forte. Seja $x_0 \in E\setminus C$ arbitrário e defina $A=C$ e $B=\{x_0\}$. Assim,
i) $A \neq \emptyset$ e $B \neq \emptyset$
ii) $A\cap B = \emptyset$
iii) $A$ e $B$ são convexos
iv) $A$ é fechado e $B$ é compacto.
Logo, pela 2ª forma geométrica de Hanh-Banach, existe um hiperplano afim $[f=\alpha]$ que separa estritamente $A$ e $B$. Em particular:
$$
f(x_0) < \alpha < f(x), \quad \forall x \in C
$$
Assim, $x_0 \in f^{-1}((-\infty,\alpha)) \implies E\setminus C \subset f^{-1}((-\infty,\alpha))$ que é aberto fraco. Além disso, $f^{-1}((-\infty,\alpha)) \cap C=\emptyset \implies f^{-1}(-\infty,\alpha) \subset E \setminus C$. Consequentemente, $E\setminus C = f^{-1}((-\infty,\alpha))$ e assim $E\setminus C$ é aberto fraco. Em outras palavras, $C$ é fechado fraco.

A implicação $C$ fechado fraco $\implies C$ fechado forte é imediata (já comentamos acima) e dispensa comentários.