Lista 2/04 - Exercício 1
Neste exercício vemos que o produto cartesiano comuta com a operação de fecho, mais precisamente:
Sejam $(X,\tau)$ e $(Y,\eta)$ dois espaços topológicos e considere o produto cartesiano $X \times Y$ munido da topologia produto. Dados $A \subset X$ e $B\subset Y$, mostre que:
$$
\overline{A\times B}=\bar{A} \times \bar{B}
$$
- E@Ellen
Queremos mostrar a igualdade $\overline{A\times B}=\overline{A}\times\overline{B}$, assim precisamos provar ambas as inclusões.
Antes disso, provaremos dois resultados que serão úteis para a resolução do problema.
Lema 1: Sejam $(X,\tau_{X})$ e $(Y,\tau_{Y})$ espaços topológicos e considere o produto cartesiano $(X,Y)$ munido da topologia produto. Se $A \subset X$ e $B \subset Y$ são abertos então $A \times B \subset X \times Y$ é aberto.
Demonstração
Observe que as projeções$$
\begin{align*}
\pi_X : X \times Y &\rightarrow X
\\
(x,y) & \mapsto x
\end{align*}
$$
e
$$ \begin{align*}
\pi_Y : X \times Y &\rightarrow Y
\\
(x,y) & \mapsto y
\end{align*}
$$
são contínuas. Além disso,
$$A \times B = \pi_{X}^{-1}(A) \cap \pi_{Y}^{-1}(B).$$
Como as projeções são contínuas sabemos que $$\pi_{X}^{-1}(A) \mbox{ e } \pi_{Y}^{-1}(B)$$ são abertos. E, como interseção finita de abertos é aberto segue que $$\pi_{X}^{-1}(A) \cap \pi_{Y}^{-1}(B)$$ é aberto. Portanto, $A \times B$ é aberto.Lema 2: Sejam $(X,\tau_{X})$ e $(Y,\tau_{Y})$ espaços topológicos e considere o produto cartesiano $(X,Y)$ munido da topologia produto. Se $A \subset X$ e $B \subset Y$ são fechados então $A \times B \subset X \times Y$ é fechado.
Demonstração
Análoga à prova do lema 1.Demonstração do Exercício
$(\subset)$
Já sabemos que $$A\subset \overline{A} \mbox{ e } B\subset \overline{B}.$$ Isto implica que $$A\times B \subset \overline{A}\times\overline{B}.$$ Daí, $$\overline{A \times B} \subset \overline{\overline{A} \times \overline{B}}.$$ Pelo Lema 2 temos que $\overline{A} \times \overline{B}$ é fechado. Assim,
$$\overline{\overline{A} \times \overline{B}}=\overline{A} \times \overline{B}$$
Isto é, $$\overline{A\times B} \subset \overline{A} \times \overline{B}.$$$(\supset)$
Seja $x\in\overline{A}\times\overline{B}$ qualquer. Logo, existem $a\in\overline{A}$ e $b\in\overline{B}$ tais que $x=(a,b)\in\overline{A}\times\overline{B}$.Por definição de fecho, exitem $U\subset X$ aberto com $a\in U$ e $V\subset Y$ aberto com $b\in V$ tais que $$U\cap A\neq\emptyset \mbox{ e } Y\cap B\neq \emptyset.$$
Desta forma, $$U\times V \subset X\times Y$$ pelo Lema 1 é um aberto com $x=(a,b)\in U\times V$. Daí,
$$U\times V \cap A\times B \neq \emptyset$$
Logo, $x\in \overline{A\times B}$. Ou seja, $$\overline{A} \times \overline{B} \subset \overline{A\times B}.$$Portanto, $\overline{A\times B}=\overline{A}\times\overline{B}$.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Muito bom!
Eu fico insistindo muito nos detalhes, então eu acho que vocês ficam sem saber quando estão demonstrando demais e quando estão demonstrando de menos. :-)
Talvez não seja muito necessário demonstrar esses lemas 1 e 2. Mas é bacana que você tenha feito. :-)
Acho interessante se você usar fatos como
$\overline{B}$ é o menor fechado que contém $B$.
Então, como $\overline{A} \times \overline{B}$ é fechado e contém $A \times B$, segue que $\overline{A \times B} \subset \overline{A} \times \overline{B}$. Como você fez está excelente. Quando você sentir que está repetindo várias vezes o mesmo argumento "padrão", é um bom sinal de que talvez seja melhor substituí-lo por um fato tão simples quanto, mas que seja mais direto.
"Eu fico insistindo muito nos detalhes, então eu acho que vocês ficam sem saber quando estão demonstrando demais e quando estão demonstrando de menos. :-)"
Exatamente!!!! Hahahahahah
Vou tentar seguir esse seu último conselho. Obrigada!
- Em resposta aEllen⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Tem uma caracterização de continuidade que é assim:
$f$ é contínua se, e somente se, $f(\overline{B}) \subset \overline{f(B)}$.
Agora, você pode usar esse exercício que você fez, pra mostrar que o fecho de um convexo é convexo.
Seja $\alpha \in [0, 1]$. Considere a combinação convexa $$f_\alpha(x,y) = x + \alpha (y - x).$$
Dizer que um conjunto $C$ é convexo é o mesmo que dizer que $f_\alpha(C \times C) \subset C$ para todo $\alpha \in [0,1]$.Então, se $C$ é convexo, como $f_\alpha$ é contínua,
$$f_\alpha(\overline{C} \times \overline{C}) = f_\alpha(\overline{C \times C}) \subset \overline{f_\alpha(C \times C)} \subset \overline{C}.$$
A primeira igualdade é o que você mostrou aqui. A segunda é a continuidade de $f_\alpha$. A terceira é a convexidade de $C$.E portanto, $\overline{C}$ é convexo. :-)