Lista 2/04 - Exercício 2

Dado $\theta \in [0,1]$, note que a função $f_\theta: E \times E \to E$ dada por:
$$
f_\theta (x,y)=\theta x+ (1-\theta)y
$$
é contínua! Em particular, dada $V$ uma vizinhança da origem em $E$, existe uma vizinhança (aberta) $Z$ de $(0,0)$ em $E\times E$ tal que $f_\theta(Z) \subset V$.
Como $Z$ é aberto no espaço produto, existem vizinhanças (abertas) $U,W$ de $0$ em $E$ onde $Z=U\times W$. Da linearidade de $f_\theta$, segue que:
$$
f_\theta(Z) = \theta U + (1-\theta)(W)
$$
Sejam então $x,y \in \overline{D}$ e considere $z=\theta x + (1-\theta)y \in E$. Note que $V_z = z +V$ descreve uma vizinhança arbitrária de $z$, ao passo que $U_x=x+U$ e $W_y=y+W$ são vizinhanças abertas de $x$ e $y$, respectivamente. Como $x,y\in \overline{D}$ existem $a \in U_x \cap D$ e $b \in W_y \cap D$. Como $D$ é convexo, segue que $c=\theta a +(1-\theta)b \in D$. Assim:
$$
c \in \theta U_x + (1-\theta)W_y = \theta(x+U)+(1-\theta)(y+W) =z+ \theta U + (1-\theta)(W) \subset z +V = V_z
$$
Assim, $c \in D \cap V_z \implies z \in \overline{D}$.

Logo, $\overline{D}$ é convexo