Lista 2/04 - Exercício 1

Queremos mostrar a igualdade $\overline{A\times B}=\bar{A}\times \bar{B}$, assim precisamos provar ambas as inclusões.

Antes disso, provaremos dois resultados que serão úteis para a resolução do problema.

Lema 1: Sejam $(X,{\tau }_X)$ e $(Y,{\tau }_Y)$ espaços topológicos e considere o produto cartesiano $(X,Y)$ munido da topologia produto. Se $A\subset X$ e $B\subset Y$ são abertos então $A\times B\subset X\times Y$ é aberto.

Demonstração
Observe que as projeções

$$\begin{array}{rl}{\pi }_X:X\times Y& \to X\\ (x,y)& \mapsto x\end{array}$$
e
$$\begin{array}{rl}{\pi }_Y:X\times Y& \to Y\\ (x,y)& \mapsto y\end{array}$$
são contínuas. Além disso,
$$A\times B={\pi }_X^{-1}(A)\cap {\pi }_Y^{-1}(B).$$
Como as projeções são contínuas sabemos que $${\pi }_X^{-1}(A)\text{ e }{\pi }_Y^{-1}(B)$$ são abertos. E, como interseção finita de abertos é aberto segue que $${\pi }_X^{-1}(A)\cap {\pi }_Y^{-1}(B)$$ é aberto. Portanto, $A\times B$ é aberto.

Lema 2: Sejam $(X,{\tau }_X)$ e $(Y,{\tau }_Y)$ espaços topológicos e considere o produto cartesiano $(X,Y)$ munido da topologia produto. Se $A\subset X$ e $B\subset Y$ são fechados então $A\times B\subset X\times Y$ é fechado.

Demonstração
Análoga à prova do lema 1.

Demonstração do Exercício

$(\subset )$
Já sabemos que $$A\subset \bar{A}\text{ e }B\subset \bar{B}.$$ Isto implica que $$A\times B\subset \bar{A}\times \bar{B}.$$ Daí, $$\overline{A\times B}\subset \overline{\stackrel{―}{A}\times \stackrel{―}{B}}.$$ Pelo Lema 2 temos que $\bar{A}\times \bar{B}$ é fechado. Assim,
$$\overline{\stackrel{―}{A}\times \stackrel{―}{B}}=\bar{A}\times \bar{B}$$
Isto é, $$\overline{A\times B}\subset \bar{A}\times \bar{B}.$$

$(\supset )$
Seja $x\in \bar{A}\times \bar{B}$ qualquer. Logo, existem $a\in \bar{A}$ e $b\in \bar{B}$ tais que $x=(a,b)\in \bar{A}\times \bar{B}$.

Por definição de fecho, exitem $U\subset X$ aberto com $a\in U$ e $V\subset Y$ aberto com $b\in V$ tais que $$U\cap A\ne \mathrm{\varnothing }\text{ e }Y\cap B\ne \mathrm{\varnothing }.$$

Desta forma, $$U\times V\subset X\times Y$$ pelo Lema 1 é um aberto com $x=(a,b)\in U\times V$. Daí,
$$U\times V\cap A\times B\ne \mathrm{\varnothing }$$
Logo, $x\in \overline{A\times B}$. Ou seja, $$\bar{A}\times \bar{B}\subset \overline{A\times B}.$$

Portanto, $\overline{A\times B}=\bar{A}\times \bar{B}$.